EDO Lineal de orden superior homogénea

Considere la EDO lineal de orden superior homogénea \left( a_{0}D^{n}+a_{1}D^{n-1}+\ldots+a_{n-1}D+a_{n}\right)y =0 \,\,\, (1) Se ensayarán soluciones de tipo y=e^{\alpha x}, donde \alpha es una constante. Sustituyendo en la ecuación (1), se tiene: a_{0}\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(e^{\alpha x})+a_{1}\dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(e^{\alpha x})+\ldots+a_{n-1}\dfrac{d}{dx}(e^{\alpha x})+a_{n}(e^{\alpha x})=0 aplicando los operadores, la ecuación se transforma en a_{0}\alpha^{n}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha^{n-1}e^{\alpha x}+\ldots+a_{n-1}\alpha e^{\alpha x}+a_{n}e^{\alpha x}=0 factorizando \left( a_{0}\alpha^{n}+a_{1}\alpha^{n-1}+\ldots+a_{n-1}\alpha+a_{n}\right)e^{\alpha x} =0 Puesto que e^{\alpha x} nunca se anula para valores reales de x, se concluye que y=e^{\alpha x} es solución de la ecuación diferencial dada siempre que \alpha sea solución de la ecuación polinómica a_{0}\alpha^{n}+a_{1}\alpha^{n-1}+\ldots+a_{n-1}\alpha+a_{n}=0 a esta ecuación se le llama ecuación auxiliar o ecuación característica de la E.D.O homogénea (1). Se considerarán cuatro casos, según la naturaleza de las raíces de la ecuación característica.

Posibles casos al determinar la solución general de una EDO Lineal de Orden Superior Homogénea

Caso 1. Raíces reales distintas:

Suponiendo que la ecuación característica tiene n raíces reales distintas \alpha_{1}\neq\alpha_{2}\neq\ldots\neq\alpha_{n}, entonces se deduce que la solución general a la ecuación diferencial es y=c_{1}e^{\alpha_{1}x}+c_{2}e^{\alpha_{2}x}+\ldots+c_{n}e^{\alpha_{n}x}

Caso 2. Raíces reales repetidas:

Si la ecuación característica tiene una raíz \alpha_{1} repetida k veces 2\leq k \leq n, entonces la solución general que corresponde a la raíz \alpha_{1} es de la forma y=\left( c_{1}+c_{2}x+\ldots+c_{k}x^{k-1}\right) e^{\alpha_{1}x}

Caso 3. Raíces complejas simples:

Si \alpha_{1} y \alpha_{2} son raíces complejas, entonces se pueden escribir \alpha_{1}=a+bi y \alpha_{2}=a-bi, en donde a y b > 0 son reales e i^{2}=-1. No hay diferencia entre este caso y el caso 1, por lo tanto y=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x} Sin embargo, empleando la fórmula de Euler e^{\pm bi x}=cos(bx)\pm isen(bx) es posible expresar esta parte de la solución general en forma real, obteniéndose: y=e^{ax}\left( c_{1}e^{bix}+c_{2}e^{-bix}\right)=e^{ax}\left[ c_{1}\left( cos(bx)+ isen(bx)\right)+c_{2}\left( cos(bx)- isen(bx)\right) \right] agrupando y=e^{ax}\left[ \left( c_{1}+c_{2}\right)cos(bx)+ i\left( c_{1}-c_{2}\right) sen(bx)\right] como, e^{ax}cos(bx) y e^{ax}sen(bx) forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial dada, llamando c_{1}+c_{2}=C_{1} y i\left( c_{1}-c_{2}\right) =C_{2} y usando el principio de superposición la solución general puede escribirse de la siguiente forma: y=e^{ax}\left[ C_{1}cos(bx)+ C_{2} sen(bx)\right]

Caso 4. Raíces complejas repetidas:

Si \alpha_{1} y \alpha_{2} son raíces complejas, \alpha_{1}=a+bi y \alpha_{2}=a-bi, de multiplicidad k, entonces se deduce que la solución general es y=e^{ax}\left[ \left( c_{1}+c_{2}x+\ldots+c_{k}x^{k-1}\right)cos(bx)+ \left( c^{\prime}_{1}+c^{\prime}_{2}x+\ldots+c^{\prime}_{k}x^{k-1}\right) sen(bx)\right]

Ejercicios resueltos de EDO Lineales de orden superior homogéneas:

Ejercicio Nro 1: Hallar la solución general de la E.D.O:

y^{\prime \prime}+3y^{\prime}-10y=0

SOLUCIÓN:

Al escribir la E.D.O en notación abreviada se tiene \left( D^{2}+3D-10\right)y =0 Por lo tanto la ecuación característica es \alpha^{2}+3\alpha-10 =0 factorizando \left(\alpha-2 \right)\left(\alpha+5 \right) =0 \rightarrow \begin{cases} \alpha = 2 & \text{ raiz real simple}\\ \alpha = -5 & \text{ raiz real simple} \end{cases} Por lo tanto la solución general es: y=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{-5x}
Advertencia:
estos procedimientos no son válidos si la E.D.O no es lineal o no tiene coeficientes constantes, por ejemplo en la ecuación y^{\prime}+x^{2}y^{2}=0.

Ejercicio Nro 2: Obtener la solución particular de la ecuación diferencial {y}'' + 2{y}' - 8y = 0 sujeta a las condiciones iniciales y\left ( 0 \right ) = 5 y {y}'\left ( 0 \right ) = -2

SOLUCIÓN:

PASO 1: escribir la E.D.O en notación abreviada Al escribir la ecuación diferencial en notación abreviada se tiene \left ( D^{2} + 2D - 8\right )y = 0 PASO 2: Determinar las raíces del polinomio característico Por lo tanto la ecuación característica asociada es \left ( \alpha^{2} + 2\alpha - 8\right ) = 0 factorizando se obtiene \left ( \alpha - 2\right )\left ( \alpha + 4\right ) = 0\rightarrow \begin{cases} \alpha = 2 & \text{ raiz real simple } \\ \alpha = -4 & \text{ raiz real simple } \end{cases} PASO 3: Escribir la solución general Por lo tanto la solución general es: y = c_{1}e^{2x} + c_{2}e^{-4x} PASO 4: Determinar la solución particular Para obtener la solución particular se utilizan las condiciones dadas: y\left ( 0 \right ) = 5 se sustituye en la solución general y\left ( 0 \right ) = 5 \rightarrow 5 = c_{1}e^{2\left ( 0 \right )} + c_{2}e^{-4\left ( 0 \right )} \rightarrow c_{1} + c_{2} = 5 derivando {y}' = 2c_{1}e^{2x} - 4c_{2}e^{-4x} sustituyendo la condición {y}'\left ( 0 \right ) = -2 \rightarrow -2 = 2c_{1}e^{2\left ( 0 \right )} - 4c_{2}e^{-4\left ( 0 \right )} \rightarrow 2c_{1} - 4c_{2} = 2 Resolviendo el sistema se obtiene que c_{1} = 3 y c_{2} = -2, por lo tanto la solución particular es: y = 3e^{2x} + 2e^{-4x}
Solución particular
y = 3e^{2x} + 2e^{-4x}  

Ejercicio Nro 3: Obtener la solución general de la ecuación diferencial homogénea

{y}''' + 2{y}'' -5{y}' - 6y = 0

SOLUCIÓN:

PASO 1: escribir la E.D.O en notación abreviada Al escribir la ecuación diferencial en notación abreviada se tiene \left ( D^{3} + 2D^{2} - 5D - 6\right )y = 0 PASO 2: Determinar las raíces del polinomio característico Por lo tanto la ecuación característica asociada es \alpha^{3} + 2\alpha^{2} - 5\alpha - 6 = 0 Entonces para hallar las raíces se emplea el método de Ruffini
1 2 -5 -6
-1 \downarrow -1 -1 6
1 1 -6 0
2 \downarrow 2 6
1 3 0
-3 \downarrow -3
1 0
Por lo tanto factorizando se obtiene \left ( \alpha + 1 \right )\left ( \alpha - 2 \right )\left ( \alpha + 3 \right ) = 0 \rightarrow \begin{cases} \alpha = -1 \ \text{raiz real simple}\\ \alpha = 2 \ \ \ \text{raiz real simple}\\ \alpha = -3 \ \text{raiz real simple} \end{cases} PASO 3: Escribir la solución general Finalmente la solución general es: y = c_{1}e^{-x} + c_{2}e^{2x} + c_{3}e^{-3x} Esperamos que esta información haya sido de tú agrado, no olvides practicar y recuerda calificar nuestra publicación aquí abajo; por último te dejamos un ejercicio propuesto.

Ejercicio Nro 4: Obtener la solución general de la ecuación diferencial

\frac{d^{4}y}{dx^{4}} + 4\frac{d^{3}y}{dx^{3}} + 2\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 4\frac{dy}{dx} - 3y = 0

SOLUCIÓN:

PASO 1: escribir la E.D.O en notación abreviada Al escribir la E.D.O en notación abreviada se tiene \left ( D^{4} + 4D^{3} + 2D^{2} - 4D - 3\right )y = 0 PASO 2: Determinar las raíces del polinomio característico Por lo tanto la ecuación característica es \alpha^{4} + 4\alpha^{3} + 2\alpha^{2} - 4\alpha - 3 = 0 para hallar las raíces se emplea el método de Ruffini
1 4 2 -4 -3
1 \downarrow 1 5 7 3
1 5 7 3 0
-1 \downarrow -1 -4 -3
1 4 3 0
-1 \downarrow -1 -3
1 3 0
-3 \downarrow -3
1 0
Por lo tanto factorizando se obtiene \left ( \alpha + 1 \right )^{2}\left ( \alpha - 1 \right )\left ( \alpha + 3 \right ) = 0 \rightarrow \begin{cases} \alpha = -1 \ \text{raiz real repetida k = 2}\\ \alpha = 1 \ \ \ \text{raiz real simple}\\ \alpha = -3 \ \text{raiz real simple} \end{cases} PASO 3: Escribir la solución general Por lo tanto, usando el principio de superposición para escribir la solución general, se tiene: y = e^{-x}\left ( c_{1} \right + c_{2}x) + c_{3}e^{x} + c_{4}e^{-3x} Observe que \left \{ e^{-x}, xe^{-x}, e^{x}, e^{-3x} \right \} forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial dada. Esperamos que esta información haya sido de tú agrado, no olvides practicar y recuerda calificar nuestra publicación aquí abajo; por último te dejamos un ejercicio propuesto.

Ejercicio Nro 5: Obtener la solución particular de la ecuación diferencial

4{y}'' + 4{y}' + 17y = 0 sujeta a las condiciones iniciales y\left ( 0 \right ) = -1 y {y}'\left ( 0 \right ) = 2

SOLUCIÓN:

PASO 1: escribir la E.D.O en notación abreviada

Al escribir la E.D.O en notación abreviada se tiene \left ( 4D^{2} + 4D + 17 \right )y = 0

PASO 2: Determinar las raíces del polinomio característico

Por lo tanto la ecuación característica es 4\alpha^{2} + 4\alpha + 17 = 0 Aplicando la ecuación de 2do grado se obtiene que las raíces son complejas \alpha = \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2} - 4\left ( 4 \right )\left ( 17 \right )}}{2\ast 4} = \frac{-4\pm \sqrt{-256}}{8} \alpha = -\frac{1}{2}\pm 2i \rightarrow \begin{cases} a = -\frac{1}{2} \ \ \text{parte real}\\ b = 2 \ \ \ \ \ \text{parte imaginaria} \end{cases}

PASO 3: Escribir la solución general

Por lo tanto la solución general es: y = e^{-\frac{1}{2}x}\left [ c_{1}\cos \left ( 2x \right ) + c_{2}\sin \left ( 2x \right ) \right ]

PASO 4: Determinar la solución particular

Para obtener la solución particular se utilizan las condiciones dadas: y\left ( 0 \right ) = -1 se sustituye en la solución general y\left ( 0 \right ) = -1 \rightarrow -1 = e^{0}\left [ c_{1}\cos \left (0\right ) + c_{2}\sin \left (0\right ) \right ] \rightarrow c_{1} = -1 derivando y para utilizar la segunda condición {y}' = -\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}\left [ c_{1}\cos \left ( 2x \right ) + c_{2}\sin \left ( 2x \right ) \right ] + e^{-\frac{1}{2}x}\left [ -2c_{1}\sin \left ( 2x \right ) + 2c_{2}\cos \left ( 2x \right ) \right ] sustituyendo la condición {y}'\left ( 0 \right ) = 2 \rightarrow 2 = -\frac{1}{2}e^{0}\left [ c_{1}\cos \left ( 0 \right ) + c_{2}\sin \left ( 0 \right ) \right ] + e^{0}\left [ -2c_{1}\sin \left ( 0 \right ) + 2c_{2}\cos \left ( 0 \right ) \right ] Resolviendo se obtiene 2 = -\frac{1}{2}c_{1} + 2c_{2} \rightarrow c_{2} = \frac{3}{4} por lo tanto la solución particular es: y = e^{-\frac{1}{2}x}\left [ -\cos \left ( 2x \right ) + \frac{3}{4}\sin \left ( 2x \right ) \right ]  
Solución Particular y = e^{-\frac{1}{2}x}\left [ -\cos \left ( 2x \right ) + \frac{3}{4}\sin \left ( 2x \right ) \right ]

Ejercicio Nro 6: Obtener la solución general de la ecuación diferencial

\frac{d^{5}y}{dx^{5}} - \frac{d^{4}y}{dx^{4}} + 2\frac{d^{3}y}{dx^{3}} - 2\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} - y = 0

SOLUCIÓN:

PASO 1: escribir la E.D.O en notación abreviada

Al escribir la E.D.O en notación abreviada se tiene \left ( D^{5} - D^{4} + 2D^{3} - 2D^{2} + D - 1\right )y = 0

PASO 2: Determinar las raíces del polinomio característico

Por lo tanto la ecuación característica es \alpha^{5} - \alpha^{4} + 2\alpha^{3} - 2\alpha^{2} + \alpha - 1 = 0 para hallar las raíces se emplea el método de Ruffini
1 -1 2 -2 1 -1
1 \downarrow 1 0 2 0 1
1 0 2 0 1
El polinomio característico sólo tiene una raíz real, factorizando se obtiene \left ( \alpha - 1 \right )\left ( \alpha^{4} + 2\alpha^{2} + 1\right ) = 0 Observe que \alpha^{4} + 2\alpha^{2} + 1 es un trinomio cuadrado perfecto, factorizando se tiene que \alpha^{4} + 2\alpha^{2} + 1 = \left ( \alpha + 1 \right )^{2}, que es una raíz compleja repetida dos veces, por lo tanto se tiene \alpha^{2} + 1 = 0 \rightarrow \alpha^{2} = -1 \rightarrow \alpha = \pm i \rightarrow \begin{cases} a = 0 \ \ \text{parte real}\\ b = 1 \ \ \text{parte imaginaria} \end{cases} es decir que las raíces del polinomio característico son “alt=“α–1α2+12=0→\begincasesα=1    raiz real simple α=±i  raiz compleja repetida k=2 \endcases” alt=”\left(\alpha – 1 \right)\left(\alpha^{2} + 1 \right)^{2} = 0 \rightarrow \begin{cases} \alpha = 1 \ \ \ \text{ raiz real simple }\\ \alpha = \pm i \ \text{ raiz compleja repetida k=2 } \end{cases} ” align=”absmiddle” />

PASO 3: Escribir la solución general

Por lo tanto, usando el principio de superposición para escribir la solución general, se tiene: y = c_{1}e^{x} + e^{0x}[\left ( c_{2} + c_{3}x \right )\cos \left ( x \right ) + \left ( c_{4} + c_{5}x \right )\sin \left ( x \right )] Observe que \left \{ e^{x}, \cos \left ( x \right ), \sin \left ( x \right ), x\cos \left ( x \right ), x\sin \left ( x \right ) \right \} forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial dada.

Ejercicio Propuesto:

Obtener la solución particular de la ecuación diferencial \frac{d^{4}y}{dx^{4}} + 8\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 16y = 0 <