Ecuacion de Riccati

A continuación hablaremos de la ecuación de Riccati, su definición, pasos para resolver una ecuación diferencial de Riccati y colocaremos algunos ejercicios resueltos para facilitar la comprensión del tema.

Ecuación de Riccati, definición básica y pasos para reducirla a la forma lineal

Si se conoce una solución particular de u de la ecuación dada, es posible reducirla a lineal, mediante el siguiente procedimiento.

Pasos para resolver una ecuación de Riccati

1- Como paso principal lo que haremos será realizar un cambio de variable, este concretamente: $y=u+\frac{1}{v}$ con su respectiva derivada ${y}'={u}'+\frac{{v}'}{v^{2}}$ además de la forma cuadrática $y^{2}=u^{2}+\frac{2u}{v}+\frac{1}{v^{2}}$

2- Sustituimos en el cambio de variable en la ecuación obtenemos:

${y}'+yp(x)+y^{2}q(x)=r(x)$

$\Rightarrow \left ( {u}'+\frac{{v}'}{v^{2}} \right )+\left ( u+\frac{1}{v} \right )p(x)+\left ( u^{2}+\frac{2u}{v}+\frac{1}{v^{2}} \right )q(x)=r(x)$

3- Agrupamos de forma conveniente

${u}'+up(x)+u^{2}q(x)-r(x)-\frac{{v}'}{v^{2}}+\frac{p(x)+2uq(x)}{v})+\frac{q(x)}{v^{2}}=0$

Pero u es una solución de la ecuación dada, por lo tanto se puede escribir:

$-\frac{{v}'}{v^{2}}+\frac{p(x)+2uq(x)}{v}+\frac{q(x)}{v^{2}}=0$

4- Multiplicamos por $-v^{2}$ para obtener:

${v}'-\left [ p(x)+2uq(x) \right ]v=q(x)$

Una ecuación lineal de primer orden

Ejercicios resueltos de la ecuación de Riccati

La ecuación ${y}'-(2x^{2}+1)y+xy^{2}+x^{3}+x-1=0$ admite una solución del tipo u=ax+b reduzca la ecuación a la forma lineal y halle la solución general.