Trayectorias ortogonales con ejercicios resueltos paso a paso

Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es una trayectoria ortogonal para una familia de curvas F(x,y,C) = 0 dada, si cualquier curva de la familia T corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas $ F(x, y, C) = 0 bajo un ángulo recto.

Procedimiento para hallar las trayectorias Ortogonales

Dado el haz de curvas F(x,y,C) = 0, para determinar las trayectorias ortogonales se realizará el siguiente procedimiento:

Paso 1:

Obtener la E.D.O asociada al haz de curvas F(x, y, C) = 0, es decir

&space;y,&space;y^{\prime}&space;)&space;=&space;0″ alt=»F(x, y, y^{\prime} ) = 0″ align=»absmiddle» />

Paso 2:

Debe sustituirse $y^{\prime}$ , en la E.D.O obtenida en el paso anterior, por $-\dfrac{1}{y^{\prime}}$ y así se obtiene la E.D.O asociada a la trayectoria ortogonal

$F\left( x, y, -\dfrac{1}{y^{\prime}} \right) = 0$

Paso 3:

Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 2, para obtener la trayectoria ortogonal

T(x, y, k) = 0

Trayectorias Ortogonales ejercicios resueltos

Ejemplo 1

Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de rectas que pasan por el origen, $ y=mx $

Solución:

Paso 1:

Obtener la E.D.O asociada al haz de curvas y=mx, para ello se deriva la ecuación dada con respecto a x

$y^{\prime} = m$

para eliminar la constante arbitraria m se sustituye $y^{\prime}$ en la ecuación del haz, obteniéndose la ecuación diferencial

$y=xy^{\prime}$

Paso 2

Debe sustituirse $y^{\prime}$ , en la E.D.O obtenida en el paso anterior, por $-\dfrac{1}{y^{\prime}}$ y así se obtiene la E.D.O asociada a la trayectoria ortogonal

$y=x\left( -\dfrac{1}{y^{\prime}}\right)$

Paso 3:

Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 3, para obtener la trayectoria ortogonal. Para ello ordenamos la E.D.O

$yy^{\prime}=-x$

También puede escribirse como

$y\dfrac{dy}{dx}=-x$

Finalmente resolvemos esta ecuación diferencial, la cual es de variables separables

$xdx+ydy=0$

Integrando se obtiene la solución general

$\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{2}=k$

o bien

$x^{2}+y^{2}= K$

Por lo tanto la trayectoria ortogonal de la familia de rectas dadas es una familia de circunferencia con centro en el origen,como se observa en la Figura.

Ejercicio resuelto Nro 2 de trayectoria ortogonales

Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias que pasan por el origen y tienen centro sobre el eje $x$

Trayectoria ortogonal, pasos para resolver un ejercicio

Se debe determinar la ecuación de la familia de circunferencias, para ello se emplea la ecuación ordinaria:

$\left( x-h\right)^{2} + \left( y-k\right)^{2} = r^{2}$

debido a que el centro esta sobre el eje $x$ , se tiene que $k = 0$

$\left( x-h\right)^{2} + \left( y\right)^{2} = r^{2}$

para relacionar $h$ y $r$ , se sustituye el origen en la ecuación, obteniéndose

$\left( 0-h\right)^{2} + \left( 0\right)^{2} = r^{2}$

por lo tanto

$h^{2} = r^{2}$

la ecuación de la familia de circunferencias depende de una constante esencial $h$ , observe

$\left( x-h\right)^{2} + \left( y\right)^{2} = h^{2}$

ordenando

$x^{2} - 2hx + y^{2} = 0$

Paso 1 Obtener la E.D.O asociada al haz de curvas

En una publicación anterior se determino la ecuación diferencial asociada a la familia de circunferencias con centro sobre el eje $x$ y que pasan por el origen, haz click aquí para ver.

Para obtener la E.D.O asociada al haz $x^{2} - 2hx + y^{2} = 0$ se deriva implícitamente la ecuación

$2x - 2h + 2yy^{\prime} = 0$

para eliminar la constante arbitraria $h$ se despeja de la ecuación derivada y se sustituye en la ecuación del haz, obteniéndose la ecuación diferencial

$y^{2} - x^{2} - 2xy{y}' = 0$

Paso 2: Debe sustituirse ${y}'$ , en la E.D.O obtenida en el paso anterior, por $-\dfrac{1}{y}'$

Con esta sustitución se obtiene la E.D.O asociada a la trayectoria ortogonal

$y^{2} - x^{2} - 2xy\left(- \dfrac{1}{y'}\right) = 0$

Paso 3: Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 2, para obtener la trayectoria ortogonal.

Para ello ordenamos la E.D.O

$2xydx + \left( y^{2} - x^{2}\right)dy = 0$

esta ecuación diferencial es homogénea de grado 2. También puede resolverse por reducible a exacta, ya que admite un factor integrante que depende de $y$ , observe que $\dfrac{\partial P}{\partial y} = 2x$ y $\dfrac{\partial Q}{\partial x} = -2x$ , por lo tanto

$f(y)=\dfrac{2x-(-2x)}{-2xy} = \dfrac{4x}{-2xy} = -\dfrac{2}{y}$

determinando el factor integrante $\mu(y)$ se tiene que

$\mu(y) = e^{\displaystyle{\int} \frac{-2}{y}\, dy } = e^{-2Lny} = e^{Lny^{-2}}=\dfrac{1}{y^{2}}$

Multiplicando la E.D.O por el factor integrante, se obtiene

$\dfrac{2x}{y}dx + \left( 1-\dfrac{x^{2}}{y^{2}}\right)dy = 0$

que es una E.D.O exacta, para resolver la E.D.O exacta se integra respecto a $x$ , obteniéndose

$U(x,y) = \int_{y=ctte}^{x} 2\dfrac{x}{y}dx + h(y) = \dfrac{x^{2}}{y} + h(y)$

para determinar $h(y)$ , se tiene que $\dfrac{\partial U}{\partial y} = Q$ por lo tanto

$-\frac{x^{2}}{y^{2}} + {h}'(y) = \left( 1-\frac{x^{2}}{y^{2}}\right)$

despejando e integrando para obtener $h(y)$

$h(y) = {\int} dy = y$

finalmente la solución general es

$\dfrac{x^{2}}{y} + y = k$

ordenando la solución obtenida se tiene $x^{2} + y^{2} = ky$ , por lo tanto la trayectoria ortogonal es una familia de circunferencias con centro sobre el eje y que pasan por el origen,como se observa en la Figura 2

ejercicio resuelto de trayectoria ortogonal