Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de variables separables

Ejercicios resueltos ecuaciones diferenciales separables

A continuación presentamos un par de ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de variables separables, siguiendo los pasos que hemos comentado en sección teórica de la web asociada a las ecuaciones diferenciales de variables separadas y separables.

Determine la solución general de la ecuación diferencial de variables separables siguiente

\left [ y\ln \left ( xy + 4 \right )+xy^{2} \right ]dx + x\ln \left ( xy+4 \right )dy = 0

Paso 1

Lo que haremos será factorizar la ecuación hasta que nos quede una expresión más manejable. Esto si la ecuación diferencial de variables separables nos lo permite, claro está.

Factorizando

\left [ y\ln \left ( xy + 4 \right )+xy^{2} \right ]dx + x\ln \left ( xy+4 \right )dy = 0

La simplificación de la ecuación no ha resultado tan amigable, sin embargo, podemos apelar a un recurso matemático como el cambio de variable, que sin duda nos proporcionara una mejor ruta de cara a obtener la solución general de la ecuación diferencial de variable separables que estamos desarrollando a continuación.

Cambio de variable

xy=t\, \wedge y=\frac{t}{x}\,\Rightarrow \,dy=\frac{xdt - tdx}{x^{2}}

Que luego al sustituir las nuevas variables nos queda:

\frac{t}{x}\left [ \ln \left ( t+4 \right )+t \right ]dx\, +\, x\ln \left ( t+4 \right )\left ( \frac{xdt-tdx}{x^{2}} \right ) = 0

Seguimos simplificando la ecuación ahora multiplicando toda la expresión por $x$ y realizando las reducciones correspondientes.

t\left [ \ln \left ( t + 4 \right )+t \right ]dx\, +\, \ln \left ( t+4 \right )\left ( xdt - tdx \right ) = 0

Agrupando términos semejantes con sus respectivos diferenciales

\left [ t\ln \left ( t+4 \right ) + t^{2} - t\ln \left ( t+4 \right )\right ]dx\, +\, \ln \left ( t+4 \right )xdt = 0

Reduciendo y agrupando las variables con sus diferenciales correspondientes finalmente tenemos:

t^{2}dx\, +\, \ln \left ( t+4 \right )xdt\, \Rightarrow \, \frac{1}{x}dx\, +\, \frac{\ln \left ( t+4 \right )}{t^{2}}dt = 0

Ya contamos con las variables separadas, con lo cual podemos avanzar hacia el siguiente paso que es integrar ambas ecuaciones.

Paso 2

Integramos las ecuaciones diferenciales de variables separadas, ojo aquí, notemos que ahora nos referimos a expresión como una ecuación de diferencial de variables separadas y no como una de variables separables.

Toda ecuación diferencial de variables separables debe llevarse a la expresión de la ecuación diferencial de variables separadas antes de poder integrarla.

Integrando ambas ecuaciones

\int \frac{1}{x}dx\, +\, \int \frac{\ln \left ( t+4 \right )}{t^{2}}dt=0

Podemos notar que la primera integral \int \frac{1}{x}dx es sencilla, de hecho es una de solución inmediata, con lo cual podemos expresar su solución

\int \frac{1}{x}dx = \ln \left ( x \right )

Ahora, la segunda integral si requiere de un poco más de dedicación en su resolución, como ya hemos dicho, no es objetivo nuestro detenernos en los detalles del cálculo integral, con lo cual avanzaremos rápidamente en la solución de esta expresión integral.

NOTA: ESTAMOS DESARROLLANDO UN NUEVO PORTAL DEDICADO EXCLUSIVAMENTE AL CALCULO INTEGRAL, POR LO QUE PEDIMOS UN POCO DE PACIENCIA MIENTRAS LO TENEMOS LISTO.

La segunda integral es una integral por partes donde tenemos:

\int \frac{\ln \left ( t+4 \right )}{t^{2}}dt = 0

\int \frac{\ln \left ( t+4 \right )}{t^{2}}dt=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} u=ln \left ( t+4 \right )\wedge du=\frac{1}{\left ( t+4 \right )}dt\\ \\ dv=\frac{1}{t^{2}}dt \; \wedge\; v=-\frac{1}{t} \end{matrix}\right.

-\frac{1}{t}\ln \left ( t+4 \right )+\int \frac{1}{t\left ( t+4 \right )}dt = 0

Multiplicando la integral por \frac{4}{4}

-\frac{1}{t}\ln \left ( t+4 \right )+\frac{1}{4}\int \frac{4}{t\left ( t+4 \right )}dt = 0

Y ahora sumando y restando t

-\frac{1}{t}\ln \left ( t+4 \right )+\frac{1}{4}\int \frac{4+t-t}{t\left ( t+4 \right )}dt = 0

Simplificando

-\frac{1}{t}\ln \left ( t+4 \right )+\frac{1}{4}\int \frac{4+t}{t\left ( t+4 \right )}dt\; -\; \frac{1}{4}\int \frac{t}{t\left ( t+4 \right )}dt = 0

Resolviendo las respectivas integrales

-\frac{1}{t}\ln \left ( t+4 \right )+\frac{1}{4}\ln\left ( t \right )-\frac{1}{4}\ln \left ( t+4 \right ) = C

Uniendo el resultado de ambas integrales

\ln\left ( x \right )-\frac{1}{t}\ln \left ( t+4 \right )+\frac{1}{4}\ln\left ( t \right )-\frac{1}{4}\ln \left ( t+4 \right ) = C

Finalmente devolvemos el cambio de variable

t = xy

\ln\left ( x \right )-\frac{1}{xy}\ln \left ( xy+4 \right )+\frac{1}{4}\ln\left ( xy \right )-\frac{1}{4}\ln \left ( xy+4 \right ) = C

Y ahí lo tenemos, la solución general de la ecuación diferencial de variables separables

\left [ y\ln \left ( xy+4 \right )+xy^{2} \right ]dx\, +\, x\ln \left ( xy+4 \right )dy = 0

Conclusiones del ejercicio de ecuaciones diferenciales de variables separables

Si nos fijamos, los pasos son simples, y dos en realidad. En el primero intentamos simplificar la ecuación diferencial de variables separables hasta que nos quedara una expresión que pudiéramos manejar fácilmente y que además nos facilitara la separación de las variables cada una con su respectivo diferencial. En otras palabras, buscamos una expresión  que nos permitiera pasar de esto: \left [ y\ln \left ( xy+4 \right )+xy^{2} \right ]dx\, +\, x\ln \left ( xy+4 \right )dy = 0

A esto \Rightarrow \, \frac{1}{x}dx\, +\, \frac{\ln \left ( t+4 \right )}{t^{2}}dt = 0

Luego, en el paso dos, integramos la ecuación, empleando el método de integración correspondiente y por ultimo resolvemos la integral para luego expresar la solución general de la ecuación diferencial.

\left [ y\ln \left ( xy+4 \right )+xy^{2} \right ]dx\, +\, x\ln \left ( xy+4 \right )dy = 0

En este particular, empleamos: simplificación, cambio de variables e integración por partes.

Cada ecuación diferencial puede sugerir un método de factorización diferente e incluso un integración diferente, con lo cual la practica nos permitirá alcanzar un mejor dominio de la materia.

Ejercicio de una ecuación diferencial reducible a separable

A continuación te mostramos en este post un ejercicio resuelto de ecuación diferencial reducible a separables y los pasos para hallar su solución general.

Anteriormente hablamos del caso en el que las rectas se cortan y por lo tanto el cambio de variable convertía la ecuación diferencial en homogénea, si quieres ver ese caso haz click aquí.

En esta publicación analizaremos el caso en el cual las rectas son paralelas y por lo tanto el cambio de variable permite llevar la ecuación diferencial a reducible a separables.

Te invitamos a seguir leyendo y tomar lápiz y papel para que ejercites los pasos necesarios para hallar la solución general mediante un ejercicio resuelto de ecuación diferencial reducible a separables. Ejemplo: Determinar la solución general de la siguiente E.D.O

\left ( 2x + y \right )dx - \left ( 4x + 2y - 1 \right )dy = 0

Como en el ejemplo anterior (haz click aquí para ver), nos damos cuenta que las funciones P\left ( x,y \right ) = \left ( 2x + y \right )  y  Q\left ( x,y \right ) = \left ( 4x + 2y - 1 \right ) representan rectas. Con lo cual, se debe comprobar si son paralelas o se cortan.

Paso 1: Identificar si las rectas son paralelas o si se cortan

Para ello identificamos los coeficientes de las variables y calculamos las pendientes de cada recta, para este caso particular a_{1} = 2, b_{1} = 1, a_{2} = 4 y b_{2} = 2.

m_{1} = \frac{-a_{1}}{b_{1}} = -\frac{2}{1} = -2

m_{2} = \frac{-a_{2}}{b_{2}} = -\frac{4}{2} = -2

m_{1} = m_{2} 

por lo que se concluye que son rectas paralelas. Por lo tanto el cambio de variable permite transformar la E.D.O a variables separables.

Paso 2: Expresar una de  las rectas proporcional a la otra recta

Podemos observar que por ser rectas paralelas son proporcionales, es decir P\left ( x,y \right ) = \left ( 2x + y \right )  y  Q\left ( x,y \right ) = \left [ 2\left ( 2x + y \right ) - 1 \right ] y , si ordenamos la E.D.O nos queda: \left ( 2x + y \right )dx - \left [ 2\left ( 2x + y \right ) - 1 \right ]dy = 0

Paso 3: Aplicar el cambio de variable

Realizamos un cambio de variables, este concretamente:

\left\{\begin{matrix} v=2x+y &\Rightarrow &y=v-2x \\ dy=dv-2dx& & \end{matrix}\right.

Se sustituye el cambio de variable en la ecuación diferencial obteniéndose:

\left ( v \right )dx - \left (2v-1 \right ) \left (dv-2dx \right ) =0

Desarrollando el producto, agrupando y simplificando se obtiene \left ( 5v-2 \right )dx - \left (2v-1 \right ) dv = 0 la cual es una ecuación diferencial de variables separables.

Paso 4: Separar variables e integrar

Separando las variables

dx - \frac{2v-1}{5v-2} dv=0

Integrando cada término

\displaystyle{\int}\, dx - \displaystyle{\int}\frac{2v-1}{5v-2}\, dv = C

se puede notar que la primera integral es inmediata y la segunda es racional algebraica por lo tanto se puede dividir los polinomios y separar en dos integrales inmediatas, es decir

x-\displaystyle{\int}\left (\frac{2}{5}-\frac{\frac{1}{5}}{5v-2}\right )\, dv = C

Integrando se obtiene

x - \frac{2}{5}v + \frac{1}{25}\ln(5v-2) =C

Paso 5: Devolver el cambio de variable

Recordando que v = 2x + y, se tiene que la solución general es

x - \frac{2}{5} \left ( 2x+y \right ) + \frac{1}{25}\ln(10x+5y-2) =C

Esperamos que esta información haya sido de tú agrado, no olvides practicar y recuerda calificar nuestra publicación aquí abajo; por último si quieres ver otro ejercicio resuelto de ecuación diferencial reducible a separables o problemas propuestos  haz click aquí para ver la guía de ejercicios.

 

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