Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado son ecuaciones polinomios también conocidas como ecuaciones cuadráticas. a continuación estaremos estudiando sus definiciones, la forma que presentan y de que manera podemos resolverlas.

Las ecuaciones cuadráticas

Se caracterizan porque en ella la incógnita esta elevada al cuadrado, y al resolverla podemos llegar a encontrar dos soluciones; aunque se puede presentar que en algunos casos encontremos solo una o que no tenga solución.

Forma de una ecuación cuadrática

ax^{2}+bx+c=0  donde a,b y c serán sustituidos por números reales y a≠0

Debemos tener presente que para que una ecuación de segundo grado o cuadrática este completa ninguno de los coeficientes ( b, c ) deben ser igual a cero.

Formula cuadrática:

Este tipo de ecuaciones se pueden resolver a través de la formula de la resolvente de la ecuación:

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}   esta nos permitirá encontrar dos soluciones una donde utilizaremos el signo mas, y otra donde se utilizara el signo menos al momento de resolver la operación con la raíz.

Los valores de ( a, b y c ) los sacaremos de la ecuación cuadrática que nos manden a resolver.

Ejemplo: si tenemos la siguiente ecuación de segundo grado

4x^{2}+6x-3=0

concluimos que  a=4, b=6, c=-3

Ejercicios de ecuaciones de segundo grado.

Ejemplo#01:   resolver la ecuación        3x^{2}+2x-1=0

Solución: usando la ecuación general tenemos que: a=3, b=2    c=-1
sustituimos en la formula de la resolvente :

x=\frac{-2\pm \sqrt{2^{2}-4(3)(-1)}}{2(3)}

x=\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{6}  realizamos las operaciones de potencia y multiplicación presentes usando la ley de los signos

x=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{6}  resolvemos la operación de suma dentro de la raíz

x=\frac{-2\pm4}{6} calculamos la raíz cuadrada de 16

De allí se realizaran dos operaciones por separado, una con el signo (+) y otra con el signo (-) como lo indica la definición

x_{1}=\frac{-2+4}{6}   realizando las operaciones de resta y simplificación concluimos  que x_{1}=\frac{1}{3}

x_{2}=\frac{-2-4}{6} realizando las operaciones de suma y división concluimos que  x_{2}=-1

 

Ejemplo #02      resolver la ecuación      x^{2}-5x+6=0

tenemos que: a=1, b=-5    c=6

sustituimos en la formula de la resolvente :

x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^{2}-4(1)(6)}}{2(1)}

x=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}

x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}

x=\frac{5\pm1}{2}

x_{1}=\frac{5+1}{2}                                                    x_{2}=\frac{5-1}{2}

x_{1}=3                                                                x_{2}=2

 

Ejemplo #03      resolver la ecuación      -x^{2}+x+12=0

tenemos que: a=-1, b=1    c=12

sustituimos:

x=\frac{-1\pm \sqrt{(1)^{2}-4(-1)(12)}}{2(-1)}

x=\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{-2}

x=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{-2}

x=\frac{-1\pm7}{-2}

x_{1}=\frac{-1+7}{-2}                                            x_{2}=\frac{-1-7}{-2}

x_{1}=-3                                                      x_{2}=4

 

Ejemplo #03      resolver la ecuación      x^{2}-x+16=0

tenemos que: a=1, b=-1    c=16

sustituimos:

x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(16)}}{2(1)}

x=\frac{1\pm \sqrt{1-64}}{2}

x=\frac{1\pm \sqrt{-63}}{2}

No tiene solución debido a que las raíces negativas no existen.

Cuando los coeficientes (b o c) resultan =0 la solución se convierte en algo mas sencillo:

Ejemplo #04      resolver la ecuación      2x^{2}-8=0

como se puede observar tenemos que: a=2, b=0    c=-8

la formula general para resolver esta ecuación será:         x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}

sustituimos:

x=\pm \sqrt{-\frac{(-8)}{2}}

x=\pm \sqrt{4}

x=\pm 2

x_{1}=2                                          x_{2}=-2

En conclusión; en el tema estudiado se resolvieron ecuaciones de segundo grado donde los ejercicios propuestos tenían diferentes formas y se utilizaron diferentes técnicas; es bueno mencionar que existen otros métodos igual de importantes para resolver estas ecuaciones, como lo es el método de la factorizacion, y el de completación de cuadrados.