Límites indeterminados cero entre cero

Si ya revisaste la pagina de indeterminaciones y limites, sabrás que los limites indeterminados requieren de la aplicación de operaciones adicionales que permitan eliminar la indeterminación. En esta oportunidad reforzaremos como resolver los límites con la indeterminación cero entre cero \frac{0}{0}\.

Límites indeterminados cero entre cero \frac{0}{0}\.

Este tipo de límite se presentan en cocientes de polinomios, previamente se evalúa el límite quedando tanto en el numerador como denominador el valor de cero. No es compleja la eliminación de este tipo de indeterminación, la complejidad radica en el conocimiento que tengas de los diferentes métodos de factorización, los cuales son aplicados en el numerador y/o denominador, identificando el factor común que para el caso sería el que origina la indeterminación al hacer cero el numerador y denominador, de esta forma proceder a simplificar. Realizado este procedimiento se evalúa nuevamente el límite sin presentarse mas indeterminaciones.

Resolución de límites indeterminados cero entre cero \frac{0}{0}\.

Una vez explicado como se elimina la indeterminación \frac{0}{0}\ vamos a resolver algunos ejercicios:

.- Resolver los siguientes límites indeterminados \frac{0}{0}\;

a.- {\lim_{x\rightarrow 5} (\frac{x^{2}-25}{x-5})}

 

= \frac{(5^{2}-25)}{5-5}

=\frac{0}{0}

Al verificar que el limite es indeterminado se aplica el producto de la suma por la diferencia en el numerador;

{\lim_{x\rightarrow 5} (\frac{x^{2}-25}{x-5})}={\lim_{x\rightarrow 5} (\frac{(x+5)(x-5)}{x-5})} se eliminan los términos comunes de la función (X-5), de esta forma se elimina también la indeterminación;

={\lim_{x\rightarrow 5}(X+5) seguidamente se evalúa;

=(5+5)

=10

 

b.- \lim_{x\rightarrow -1} \frac{X^{2}-2X-3}{X^{2}+4X+3}

al evaluar se obtiene como resultado \frac{0}{0}, para eliminar la indeterminación se factorizamos la función del numerador y del denominador quedando de la siguiente forma;

\lim_{x\rightarrow -1} \frac{X^{2}-2X-3}{X^{2}+4X+3}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(X-3)(X+1)}{(X+3)(X+1)}

El factor común que genera la indeterminación es X+1 por tal motivo la simplificamos

\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(X-3)}{(X+3)} se procede a evaluar nuevamente

=\frac{-1-3}{-1+3}

=\frac{-4}{2}

= -2

 

c.- {\lim_{x\rightarrow 1} (\frac{x^{2}-x}{3x^{2}-3x})}

se evalúa el límite

=\frac{1^{2}-1}{3(1)^{2}-3(1)}

=\frac{0}{0} se procede a factorizar por método de factor común, tanto en el numerador como denominador, para eliminar la indeterminación;

= {\lim_{x\rightarrow 1} \frac{X(X-1)}{3X(X-1)}

= {\lim_{x\rightarrow 1} \frac{1}{3} al evaluar y aplicando la propiedad de limite de una constante, quedaría;

= \frac{1}{3}

 

d.- \lim_{x\rightarrow -2}\frac{X^{3}+3X^{2}+2X}{X^{2}-X-6}

al evaluar da \frac{0}{0} , procedemos a factorizar el numerador y el denominador

=\lim_{x\rightarrow -2}\frac{X(X^{2}+3X+2)}{(X-3)(X+2)} como se puede observar no se presentan ningún termino común para simplificar, pero si nos detenemos un momento y detallamos el polinomio del numerado se puede aplicar otro segundo método de factorización a la expresión (X^{2}+3X+2), quedando;

=\lim_{x\rightarrow -2}\frac{X(X+2)(X+1)}{(X-3)(X+2)} simplificamos el factor común que es X+2

=\lim_{x\rightarrow -2}\frac{X(X+1)}{(X-3)} se evalúa el límite

=\frac{-2(-2+1)}{(-2-3)}

=\frac{2}{-5}