Limite indeterminado infinito entre infinito

Para ampliar el tema de indeterminaciones y límites, en esta oportunidad estudiaremos los límites indeterminados del tipo \frac{\infty }{\infty }\.

Límites indeterminados del tipo infinito entre infinito \frac{\infty }{\infty }\.

Los limites indeterminados de la forma infinito entre infinito, se presentan en los cocientes de polinomios al igual que las indeterminación \frac{0}{0}\, pero hay que acotar que en este caso se registra la indeterminación \frac{\infty }{\infty }\ cuando el limite de la función tiende al infinito, ya sea positivo o negativo.

Como lo estudiamos en Indeterminaciones y límites, para eliminar dicha indeterminación se procede a dividir el numerador y el denominador por la variable que tenga mayor potencia, es decir, si se tiene el siguiente límite \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{3}}{x^{2}+1} , la función del numerador es de tercer grado y la función del denominador es del segundo grado, por tal motivo se procede a dividir el numerador y al denominador por X^{3}.

Si vemos otro ejemplo, \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{x^{2}+x}, la función de mayor grado se encuentra en el denominador y por tal motivo se divide la función del numerador y el denominador por el termino (X^{2}).

Pero dependiendo de donde se ubique el termino de mayor grado, se puede presentar tres resultados:

1.- Si la mayor potencia de la variable aparece en el numerador, el resultado del límite es ∞. Veamos el ejemplo:

{\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{5x^{2}}{x-4})}

{\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{5x^{2}}{x-4})}=\frac{\infty }{\infty } Se divide por la variable de mayor potencia, tanto el numerador como el denominador, para el caso es x^{2};

={\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{5\frac{X^{2}}{X^{2}}}{\frac{X}{X^{2}}-\frac{4}{X^{2}}})}

={\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{5}{\frac{1}{X}-\frac{4}{X^{2}}})} se evalúa el limite, recordemos que todo numero dividido entre el infinito da como resultado cero.

=(\frac{5}{\frac{1}{\infty }-\frac{4}{\infty ^{2}}})

= \frac{5}{0}

= \infty

2.- Si la mayor potencia de la variable aparece en el denominador, el resultado del límite es cero. Veamos el ejemplo:

{\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{X^{2}-2X+1}{3X-X^{4}})}

=\frac{\infty }{\infty }

eliminamos la indeterminación dividiendo el numerador y el denominador por la variable de mayor exponente, que según el caso es X^{4}

 

{\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{X^{2}-2X+1}{3X-X^{4}})}={\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{\frac{X^{2}}{X^{4}}-\frac{2X}{X^{4}}+\frac{1}{X^{4}}}{\frac{3X}{X^{4}}-\frac{X^{4}}{X^{4}}})}

 

={\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{\frac{1}{X^{2}}-\frac{2}{X^{3}}+\frac{1}{X^{4}}}{\frac{3}{X^{3}}-1})} se procede a evaluar

 

={\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{\frac{1}{\infty ^{2}}-\frac{2}{\infty ^{3}}+\frac{1}{\infty ^{4}}}{\frac{3}{\infty ^{3}}-1})}

 

={\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{\frac{1}{\infty ^{2}}-\frac{2}{\infty ^{3}}+\frac{1}{\infty ^{4}}}{\frac{3}{\infty ^{3}}-1})}

=\frac{0-0+0}{0-1}

=\frac{0}{-1}

= 0

3.- Si la mayor potencia de la variable aparece en el numerador al igual que en el denominador, el resultado del límite será la división de los coeficientes de dichas variables, equivalente a un numero real. Veamos el ejemplo.

\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{2}}{3x^{2}+1}

=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{3x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} se simplifica los factores comunes

=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{3+\frac{1}{x^{2}}} se evalúa

=\frac{1}{3+\frac{1}{\infty }}

=\frac{1}{3+0}

=\frac{1}{3}

Eso son los tres casos que se pueden presentar dependiendo de la ubicación del termino de mayor grado, pero observemos el siguiente ejercicio, \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{3}} , el termino de mayor grado es X^{2} , recordemos que la variable del denominador a pesar de esta elevada a la 3, se encuentra dentro de una raíz, si hacemos la transformación a potencia quedaría \sqrt{x^{3}}=x\tfrac{3}{2} , si efectuamos la división de valor ubicado en el exponente daría 1,5 por ende es menor que el valor del termino del numerado.

Para este tipo límites se procede de la siguiente manera:

=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{3}}}{x^{2}}} para introducir el terminoX^{2} dentro de la raíz multiplicamos el exponente por el indice de la raíz, que según el caso es 2, quedando;

=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{X^{3}}{X^{4}}}} simplificamos

 

=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{1} +\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{X}}} y evaluamos

=\frac{{1} +\frac{1}{\infty }}{\sqrt{\frac{1}{\infty }}}

= \infty