Límite indeterminado infinito menos infinito

Dentro del estudio de los límites indeterminados, nos encontramos con la indeterminación del tipo (∞ -∞), dicha indeterminación se presenta por la diferencia de dos funciones polinómicas.

Limite indeterminado (∞ -∞).

Para eliminar este tipo de indeterminación se suele multiplicar y dividir por la conjugada o en algunos casos se realizan operaciones algebraicas, es importante acotar, una vez ejecutadas cualquieras de las opciones para eliminar la indeterminación y al evaluar nuevamente el límite, se puede presentar otra indeterminación del tipo $\frac{\infty }{\infty }\$ , teniendo que utilizar el procedimiento para este caso.

Resolución de limites indeterminados (∞ -∞).

Vamos a resolver varios ejercicios para comprender el procedimiento para eliminar la indeterminación (∞ -∞):

a.- $\lim_{x\rightarrow 3}(\frac{3}{3-x}- \frac{18}{9-X^{2}})$

se evalúa el límite

$=(\frac{3}{3-3}- \frac{18}{9-3^{2}})$

$=(\frac{3}{0}- \frac{18}{0})$

$=(\infty - \infty )$

Para eliminar la indeterminación aplicaremos ciertas operaciones básicas como resta de fracciones, pero previamente factorizamos $9-X^{2}$

$= \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{3}{3-X}- \frac{18}{(3+X)(3-X)})$ se calcula el mínimo

$= \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{3(3+X)-18}{((3+X)(3-X)}$ resolvemos el producto del numerador

$= \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{9+3X-18}{((3+X)(3-X)}$

$= \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{3X-9}{(3+X)(3-X)})$ factorizamos el numerador por el método de factor común,

$= \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{-3(3-x)}{(3+X)(3-X)})$ simplificamos eliminando 3-X

$= \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{-3}{(3+X)})$ evaluamos

$=\frac{-3}{(3+3)}$

$=\frac{-3}{6}$

$=-\frac{1}{2}$

b.- ${\lim_{x\rightarrow\infty }(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$

${\lim_{x\rightarrow\infty }(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})= \infty -\infty$ se multiplica y se divide por la conjugada;

$={\lim_{x\rightarrow\infty } (\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}})$

$={\lim_{x\rightarrow\infty } (\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}})$ al resolver el producto de una suma por su diferencia queda;

$={\lim_{x\rightarrow\infty } (\frac{({x+1}-{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}})$

$={\lim_{x\rightarrow\infty } (\frac{{1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}})$

$=\frac{1 }{\infty }$

$= 0$

c.- $\lim_{x\rightarrow\infty } \sqrt{(X^{2}+2X-3)}-X$

al evaluar se obtiene como resultado una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ , se procede a eliminar la indeterminación aplicando la conjugada de la siguiente manera

$\lim_{x\rightarrow\infty } \sqrt{(X^{2}+2X-3)}-X =\lim_{x\rightarrow\infty } \frac{(\sqrt{(X^{2}+2X-3)}-X).(\sqrt{(X^{2}+2X-3)}+X)}{\sqrt{(X^{2}+2X-3)}+X}$

$=\lim_{x\rightarrow\infty } \frac{X^{2}+2X-3-X^{2}}{\sqrt{(X^{2}+2X-3)}+X}$ se restan los términos comunes, en este caso $X^{2}$

$=\lim_{x\rightarrow\infty } \frac{2X-3}{\sqrt{(X^{2}+2X-3)}+X}$ Se evalúa nuevamente quedando una segunda indeterminación del tipo $\frac{\infty }{\infty }$ procediendo a dividir el numerador y el denominador por el termino de mayor exponente siendo el caso X, resaltando que para introducir la variable X dentro de la raíz se convierte en $X^{2}$

$=\lim_{x\rightarrow\infty } \frac{\frac{2X}{X}-\frac{3}{X}}{\sqrt{(\frac{X^{2}}{X^{2}}+\frac{2X}{X^{2}}-\frac{3}{X^{2}})}+\frac{X}{X}}$

$=\lim_{x\rightarrow\infty } \frac{2-\frac{3}{X}}{\sqrt{(1+\frac{2}{X}-\frac{3}{X^{2}})}+1}$ se evalúa el limite

$=\lim_{x\rightarrow\infty } \frac{2-\frac{3}{\infty }}{\sqrt{(1+\frac{2}{\infty }-\frac{3}{\infty ^{2}})}+1}$

$=\frac{2-0}{\sqrt{(1+0-0)}+1}$

$=\frac{2}{\sqrt{(1)}+1}$

$=\frac{2}{2}$

$= 1$