Limites indeterminados de la forma exponencial uno elevado al infinito

Siguiendo con el estudio de los limites indeterminados, nos encontramos con los limites indeterminados de la forma exponencial 1^{\infty } .

Limites indeterminados de la forma 1^{\infty }.

Este tipo de limite se presenta al evaluar la función, donde la variable tiende al infinito, dando como resultado 1^{\infty } .

Para eliminar este tipo de indeterminaciones se utiliza la expresión:

\lim_{x\rightarrow \infty }(F(x))^{G(x)}=\varrho ^{\lim_{x\rightarrow \infty }}(G(x)(F(x)-1))

Recordemos como se aplica esta expresión con un ejercicio;

\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^{\frac{ax+b}{a}}

si evaluamos

=(1+\frac{1}{\infty })^{\frac{a\infty +b}{a}} ya sabemos que un numero dividido entre infinito da cero, sumar o multiplicar un numero al infinito da como resultado infinito.

=(1+0)^{\infty }

=1^{\infty } al evaluar evidenciamos que es un limite indeterminado donde aplicaremos para eliminar la indeterminación la expresión:

\lim_{x\rightarrow \infty }(F(x))^{G(x)}=\varrho ^{\lim_{x\rightarrow \infty }}(G(x)(F(x)-1)) quedando

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}((\frac{ax+b}{a})(1+\frac{1}{x}-1))

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}((\frac{ax+b}{a})(\frac{1}{x}))

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}(\frac{ax+b}{ax})

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}(\frac{ax}{ax}+\frac{b}{ax})

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}(1+\frac{b}{ax}) se evalúa el limite

=\varrho^{1}

Veamos otro ejemplo ;

{\lim_{X\rightarrow \infty }}(\frac{X^{2}+5X+3}{X^2{}})^{\frac{X^{2}-3}{X+1}}

Al evaluar se obtiene 1^{\infty } , eliminamos la indeterminación aplicando la expresión \lim_{x\rightarrow \infty }(F(x))^{G(x)}=\varrho ^{\lim_{x\rightarrow \infty }}(G(x)(F(x)-1))

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}((\frac{X^{2}-3}{X+1})(\frac{X^{2}+5X+3}{X^{2}}-1)) resolvemos las operaciones básicas y simplificamos

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}((\frac{X^{2}-3}{X+1})(\frac{X^{2}+5X+3-X^{2}}{X^{2}}))

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}((\frac{X^{2}-3}{X+1})(\frac{5X+3}{X^{2}})) aplicamos la multiplicación de fracciones, quedando

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}((\frac{5X^{3}+3X+15X^{2}-9}{X^{3}+X^{2}})) si evaluamos quedaría

=\varrho ^{\frac{\infty }{\infty }} como el exponente es una indeterminación, aplicamos la metodología de limites indeterminado del tipo \frac{\infty }{\infty }, es decir, dividimos el numerador y denominador por la variable de mayor exponente que para el caso es X^{3} procediendo seguidamente a simplificar y evaluar, quedando

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}((\frac{5+\frac{3}{x^{2}}+\frac{15}{X}-\frac{9}{X^{3}}}{1+\frac{1}{X^{3}}}))

=\varrho ^{5}

Pero en ocasiones se nos presentan limites como el siguiente;

\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{X+4})^{X+4}

al evaluar la indeterminación es del tipo 1^{\infty }

entonce aplicamos lo siguiente,

si (1+\frac{1}{f(x)})^{f(x)}=\varrho

por ende el resultado del ejercicio

\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{X+4})^{X+4}=\varrho

Veamos otros ejemplo;

\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{X+4})^{X-2}

si evaluamos obtenemos la indeterminación 1^{\infty }

si observamos el denominador de la función es diferente al exponente, por ende no cumple la condición para aplicar el procedimiento anterior, ante esta situación resolvemos de la siguiente manera, multiplicamos y dividimos al exponente por X+4

\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{X+4})^{\frac{(X+4)(X-2)}{X+4}} al aplicar este procedimiento se cumple (1+\frac{1}{f(x)})^{f(x)}=\varrho

(1+\frac{1}{X+4})^{(X+4)}=\varrho sustituimos

\lim_{x\rightarrow \infty }\varrho ^{\frac{X-2}{X+4}} evaluamos

=\varrho ^{\frac{\infty -2}{\infty +4}} como el limite da indeterminación del tipo \frac{\infty }{\infty } se procede a la aplicación del procedimiento respectivo al caso, es decir, se divide numerador y denominar por la variable X, para posteriormente evaluar dando como resultado

=\varrho ^{1}