Regla de L'hopital

Recordemos que los límites indeterminados son; Infinito entre infinito $\frac{\infty }{\infty }\$ , Cero entre cero $\frac{0}{0}$ , infinito menos infinito $\infty -\infty$ , cero por infinito $0.\infty$ , cero elevado a cero $0^{0}$ , Infinito elevado a cero $\infty ^{0}$ y uno elevado a infinito $1^{\infty }$ . En otras oportunidades hemos estudiado estos límites, detallando los métodos de resolución para cada caso, hoy estudiaremos una regla también muy utilizada en la resolución de límite como lo es la regla de L’hopital.

Es importante resaltar que durante el estudio de los límites, se inicia con métodos distinto a la aplicación de la regla de L’hospital dado que debes tener conocimientos previos de derivas y dentro del estudio del calculo diferencial iniciamos con límites para posteriormente introducirnos en el mundo de la derivada.

Aplicación de la regla de L’hospital.

Para aplicar la regla de L’hopital se debe considerar:

Solo se aplica en límites de cociente de polinomios, es decir, $\lim_{x\rightarrow a}\frac{F(x)}{G(x)}$
Se aplica en limites indeterminados del tipo $\frac{\infty }{\infty }$ y $\frac{0}{0}$
La derivada de G(x) su resultado debe ser diferente a cero.

Para el caso del limite del tipo $0.\infty$ , si aplicamos una series de operaciones básicas en las funciones polinomicas, se transformaría la indeterminación a otras de las antes señaladas, también las indeterminaciones $1^{\infty }$ y $\infty ^{0}$ pueden transformarse al aplica primeramente las expresiones exponenciales para cada caso, de esta forma aplicaríamos la regla de L’hospital ellos.

Dicha regla consiste en derivar la función del numerador como del denominar, denotándose:

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{F(x)}{G(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{F'(x)}{G'(x)}$

veamos un ejemplo:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{X+2}{X-3}$

se evalúa el límite

$=\frac{\infty +2}{\infty -3}$

$=\frac{\infty}{\infty}$

dada la indeterminación aplicamos la regla de L’hopital

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{F(x)}{G(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{F'(x)}{G'(x)}$

derivamos las funciones, recordando que la derivada de una constante es cero

$=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1+0}{1-0}$

$=\lim_{x\rightarrow \infty }{1}$ procedemos a evaluar

$= 1$

NOTA: La regla de L’hopital se aplica tantas veces sea necesario, es decir, se deriva y se evalúa el limite, si se sigue presentando la indeterminación, se aplicar la regla nuevamente.