Límites trigonométricos

Durante el estudio de los límites nos encontramos con funciones como seno, coseno, tangente, entre otras, las cuales denominamos límites trigonométricos y tienden a cero. Estos se resuelven aplicando las propiedades básicas de los límites anexando el uso de las identidades trigonométricas.

Para comprender y facilitar la resolución de los límites trigonométricos, recordemos las identidades:

$Tag(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$

$Csc(x)=\frac{1}{sen(x)}$

$Sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$

$sen^{2}(x)-cos^{2}(x)= 1$

$tag^{2}(x)+1=Sec^{2}(x)$

$1+Ctg^{2}(x)=Csc^{2}(x)$

$sen(2x)=2 sen(x)cos(x)$

$cos(2x)=cos^{2}(x)-sen^{2}(x)$

Resolución de ejercicios.

Resolver los siguientes límites trigonométricos:

1.- $\lim_{x\rightarrow 0}(sen(x)+2cos(x))$

$\lim_{x\rightarrow 0}(sen(x)+2cos(x))=\lim_{x\rightarrow 0}(sen(x))+\lim_{x\rightarrow 0}(2).\lim_{x\rightarrow 0}(cos(x))$

Para facilitar la resolución de estos límites es de saber, que el límite cuando x tiende a cero de la función sen (x) su resultado es cero y del cos (x) es uno, por tanto;

$\lim_{x\rightarrow 0}(sen(x)+2cos(x))=0 + 2(1)$

$\lim_{x\rightarrow 0}(sen(x)+2cos(x))= 2$

2.- $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(2x)-cos(x)}{sen(x)})$

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(2x)-cos(x)}{sen(x)})$

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(2x)-cos(x)}{sen(x)})=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{(2sen(x)cos(x))-cos(x)}{sen(x)})$

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(2x)-cos(x)}{sen(x)})=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{(2sen(x)cos(x))}{sen(x)}-\frac{cos(x)}{sen(x)})$ se elimina los términos semejante (sen(x)) y se sustituye $\frac{cos(x)}{sen(x)}$ por tag(x);

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(2x)-cos(x)}{sen(x)})=\lim_{x\rightarrow 0}(2cos(x)-tag(x))$ evaluando el limite se obtiene;

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(2x)-cos(x)}{sen(x)})=(2-0)=2$

3.- $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(x)-tag(x)}{1-cos(x)})$

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(x)-tag(x)}{1-cos(x)})= \frac{sen(0)-tag(0)}{1-cos(0)}$

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(x)-tag(x)}{1-cos(x)})= \frac{0}{0}$ como es indeterminado, se aplica la identidad de la tag(x) en el numerador quedando;

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(x)-tag(x)}{1-cos(x)})= \lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(x)-\frac{sen(x)}{cos(x)}}{1-cos(x)})$

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(x)-tag(x)}{1-cos(x)})= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{cos(x).sen(x)-sen(x)}{cos(x)}}{1-con(x)}$

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(x)-tag(x)}{1-cos(x)})= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sen(x)(cos(x)-1)}{cos(x)}}{1-cos(x)}$ se aplica la doble C;

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(x)-tag(x)}{1-cos(x)})= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{{sen(x)(cos(x)-1)}}{cos(x)(1-cos(x))}$ se evalúa el límite;

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(x)-tag(x)}{1-cos(x)})=\frac{{sen(0)(cos(0)-1)}}{cos(0)(1-cos(0))}$

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sen(x)-tag(x)}{1-cos(x)})=\frac{0}{1}=0$