División de polinomios

Existen distintos tipos de polinomios entre estos: monomios, binomios, trinomios, cuatrinomios entre otros, y de la misma manera distintas, operaciones aritméticas que realizar con ellos como lo es la suma, resta, multiplicación, división. A  continuación en el siguiente post, estudiaremos las diferentes definiciones acerca de la división de polinomios y las diversas formas de realizar dicha operación aritmética en los polinomios.

Qué es la división algebraica de polinomios

La división de polinomios, se refiere a un conjunto de operaciones, que nos permitirá dividir un polinomio (monomio, binomio, trinomio) por otro polinomio ( monomio, binomio, trinomio) que no sea nulo.

Esta división, es conocida como la división más larga, por tener letras y números, pero el procedimiento a seguir es el mismo de cualquier división de números.

En toda división debemos recordar, que ademas de dividir los coeficientes, también se deben dividir los signos.

Ahora bien, para estudiar la división de polinomios, es indispensable, aprender antes acerca de la división de monomios, y como dividir un polinomio entre un monomio, ya que los polinomios, binomios, trinomios o cualquier tipo de polinomios, están compuestos por varios monomios; y efectuar una división de polinomios, es realizar la división de varios monomios.

División de monomios

Para dividir monomios, se deben dividir primero los coeficientes de los términos entre si y luego restamos los exponentes (los grados de cada término) que poseen la misma variable.

Ejemplo de división de monomios, ejercicios resueltos

1.-  Dados los monomios    P(x)=12x^{8}      y      Q(x)= -2x^{3}     entonces

P(x)\div Q(x)=12x^{8}\div \left ( -2x^{3} \right )=-6x^{5}  como pueden observar se dividieron los coeficientes de los términos, los signos de cada término y se restaron los exponentes (grado de los términos) porque tenían la misma variable.

2.-  Dados los monomios      Q(x)=-\frac{4}{5}z^{10}       y       M(x)=-\frac{5}{3}z^{5}     entonces

Q(x)\div M(x)=\left (-\frac{4}{5}z^{10} \right )\div \left ( -\frac{5}{3}z^{5} \right ) =\frac{12}{25}z^{5}   se  hizo la división de fracciones para resolver la división de los coeficientes de los términos, dividieron los signos de cada término y se restaron los exponentes (grado de los términos) porque tenían la misma variable.

3.-   Dados los monomios  Q(x)=35x^{4}y^{2}       y       Z(x)=5x^{2}y         entonces

Q(x)\div Z(x)=35x^{4}y^{2}\div 5x^{2}y=7x^{2}y   se observa que se dividieron los coeficientes de los términos, los signos de cada término y se restaron los exponentes (grado de los términos) que tenían la misma base (variable).

4.-    Dados los monomios  N(x)=24y     y      Z(x)=4x^{2} entonces  Q(x)\div Z(x)=24y\div 4x^{2}=6yx^{2}   se dividieron los coeficientes de los términos y no se restaron los exponentes porque las variables son distintas.

Otro punto interesante para aprender dividir polinomios, es saber dividir (polinomios entre monomios); a continuación daremos explicaciones fundamentales para el proceso:

División de polinomio entre monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio solo debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Ordenamos el polinomio en orden decreciente.
  2. Se divide cada termino del polinomio (el dividendo)  entre el monomio (el divisor).
  3. Se coloca el signo respectivo. Según la división de signos.

Ejemplos de división de polinomios entre monomios, ejercicios resueltos

1.-   Dado el polinomio P(x)= 15x^{12}+4x^{9}+6x^{7}-9x^{4}   y el monomio Q(x)= 3x^{3}   encontrar:P(x)\div Q(x)

Solución:

P(x)\div Q(x)= \frac{15x^{12}}{3x^{3}}+\frac{4x^{9}}{3x^{3}}+\frac{6x^{7}}{3x^{3}}-\frac{9x^{4}}{3x^{3}}=5x^{9}+\frac{4}{3}x^{6}+2x^{4}-3x

Se dividieron los coeficientes, se restaron los exponentes  y se dividieron los signos

2.-  Dado el polinomio P(x)=\frac{3}{4}z^{11}-\frac{1}{2}z^{10}+\frac{5}{4}z^{8}  y el monomio Q(x)= \frac{3}{2}z^{8}   encontrar:P(x)\div Q(x)

Solución:

P(x)\div Q(x)=\frac{\frac{3}{4}z^{11}}{\frac{3}{2}z^{8}}-\frac{\frac{1}{2}z^{10}}{\frac{3}{2}z^{8}}+\frac{\frac{5}{4}z^{8}}{\frac{3}{2}z^{8}}=\frac{6}{12}z^{3}-\frac{2}{6}z^{2}+\frac{10}{12}z^{0}=\frac{1}{2}z^{3}-\frac{1}{3}z^{2}+\frac{5}{6}

Se dividieron los coeficientes aplicando la división de fracciones, se restaron los exponentes  y se dividieron los signos

3.- Dado el polinomio P(x)=16x^{30}+12x^{10} y el monomio Q(x)= -4x^{4}  encontrar:P(x)\div Z(x)

P(x)\div Z(x)=\left (16x^{30}+12x^{10} \right )\div \left (-4x^{4} \right )=\frac{16x^{30}}{-4x^{4}}+\frac{12x^{10}}{-4x^{4}}=-4x^{26}-3x^{6}

Para la división de binomios con polinomios, división de trinomios con polinomios, división de polinomios con polinomios, división de trinomios con binomios, o hacer las diferentes combinaciones entre ellos, el procedimiento a seguir es el mismo de la división de polinomios. Esto lo entenderás de mejor manera y lo pondrás en práctica con las definición que se explicarán a continuación:

Cómo dividir polinomios

En la división de polinomios, binomios o trinomios, debemos recordar que la técnica es la misma que se usa para una división de cualquier número, al primer polinomio lo llamaremos dividendo y al segundo lo llamaremos divisor y debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Ordenamos los polinomios en orden decreciente.
  2. Ubicamos el polinomio que llamamos dividendo del lado izquierdo, y del lado derecho al que llamamos divisor. En el caso de que falte algún termino dejamos un espacio en blanco para indicar que allí falta ese termino.
  3. Dividimos el primer término del polinomio(dividendo) entre el primer término del polinomio (divisor).
  4. Multiplicamos el resultado obtenido de la división por el divisor ( recordando que se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes), y el resultado obtenido se lo restamos al dividendo, ubicándonos según los exponentes (exponentes iguales); cambiándole los signos a los términos del producto.
  5. Simplificamos los resultados que se puedan simplificar.
  6. Repetimos el proceso hasta que el residuo sea cero(0) o hasta que el grado del dividendo sea menor que el del divisor.

Ejemplos de división de polinomios, binomios y trinomios, ejercicios resueltos

A continuación se presentan ejercicios de división entre polinomios;  haciendo combinaciones diferentes como: monomio con polinomio, binomio con trinomio, binomio con monomio, trinomio con binomio, polinomio con polinomio y muchas otras combinaciones entre los diversos tipos.

1.-   Dados los polinomios  P(x)= 2x^{4}-9x^{3}-3x^{2}-x-1     y    Q(x)= 2x+1      encontrar: P(x)\div Q(x)

Solución:   

Los polinomios  están ordenados    P(x)= 2x^{4}-9x^{3}-3x^{2}-x-1           Q(x)= 2x+1

Ubicamos los polinomios y dividimos el primer termino del dividendo por el primer termino del divisor

división de polinomios paso 2

Multiplicamos el resultado obtenido de la división, por el polinomio divisor ( recordando que se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes), y el resultado obtenido se lo restamos al dividendo ubicándonos según los exponentes (exponentes iguales);  le cambiamos los signos a los resultados de la multiplicación y simplificamos los términos que se puedan simplificar.

división de polinomios paso 3

Continuamos, repitiendo el proceso de los pasos anteriores hasta que el residuo de cero(0) o el grado del dividendo sea menor que el divisor

división de polinomios P(x) entre Q(x)

2.-  Dados los polinomios  P(x)= 4x^{5}-10x^{3}+3x^{2}-x+6    y    Q(x)= x^{3}-2x^{2}+1      encontrar: P(x)\div Q(x)

Solución:

Los polinomios están ordenados

Ubicamos el dividendo, el divisor y dividimos

División de polinomios P(x) entre S(x)

Como se puede observar se dejaron espacios en blanco cuando hacían falta términos, y se culminó la división porque el grado del dividendo, es menor que el grado del divisor.

3.-  Dados los polinomios  G(x)= x^{5}+2x^{3}-x-8      y        Q(x)= x^{2}-2x+1     encontrar: G(x)\div Q(x)

Solución:

División de polinomios G(x) entre Q(x)

4.-    Dados los polinomios  M(x)= 2x^{2}+x-2     y        Q(x)= x     encontrar: M(x)\div Q(x)

Solución:

división de polinomios M(x) entre Q(x)

5.-    Dados los polinomios  N(x)= x+x^{6}+x^{3}+1    y          Q(x)= x^{3}+x^{4}+x+1 encontrar: N(x)\div Q(x)

Solución:

Ordenamos los polinomios N(x)= x^{6}+x^{3}+x+1         Q(x)= x^{4}+x^{3}+x+1

división de polinomios N(x) entre Q(x)