Factorización por factor común, cómo se realiza, 10 ejercicios resueltos

En los polinomio; existen diversos métodos para efectuar el proceso de factorización, uno de ellos es la factorización por factor común o también llamada factorización por agrupación; en el siguiente post estudiaremos éste tipo de factorización y sus diferentes maneras de aplicar.

Contents

1 Qué es un factor en matemáticas
2 Qué es el factor común de un polinomio
- 2.1 Ejercicios de factor común de un polinomio, ejemplos resueltos
3 Qué es la factorización por factor común de un polinomio o factorización por agrupación de términos
4 Cómo se realiza la factorización por factor común de un polinomio
- 4.1 Ejercicios de factorización por factor común o por agrupación de términos de un polinomio , 11 ejemplos resueltos
  - 4.1.1 Otros ejemplos de factorización por agrupación de términos

Antes de hablar de la factorización por factor común o factorización por agrupación; es bueno saber todo acerca de lo que es un factor y factor común.

Qué es un factor en matemáticas

Son cantidades o una expresiones matemáticas que podemos multiplicar y de ésta manera formar un producto.

Qué es el factor común de un polinomio

El factor común de un polinomio; es aquel factor o cantidad (número o letra) que se encuentra en todos los términos del polinomio.

Ejercicios de factor común de un polinomio, ejemplos resueltos

1.- Dado el polinomio $\small P(x)= 4x^{4}+3x^{2}+5x$ podemos observar que el factor común es $\small x$

2.- Dado el polinomio $\small P(x)= 24x^{2}+12x+4$ podemos observar que el factor común es $\small 4$

3.- Dado el polinomio $\small P(x)= 25x^{3}+15x^{2}+5x$ podemos observar que el factor común es $\small 5x$

4.- Dado el polinomio $\small P(x)= 36x^{10}+30x^{6}+6x^{4}$ podemos observar que el factor común es $\small 6x^{4}$

5.- Dado el polinomio $\small P(x)=3x(a-1)+4y(1-a)$ podemos observar que el factor común es $\small (a-1)$

Qué es la factorización por factor común de un polinomio o factorización por agrupación de términos

Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común; se puede factorizar el polinomio en el producto de dos factores, donde uno será el factor común y el otro factor se obtendrá dividiendo cada término del polinomio entre el factor común.

Cómo se realiza la factorización por factor común de un polinomio

Para efectuar una factorización por factor común debemos lo hacemos de la siguiente manera:

Encontramos el factor que es común en todos los términos del polinomio, ya sea que se estén sumando o restando; el factor común puede ser numero o letra (en los coeficientes o números se toma el mayor divisor de todos los términos, y en la literales o variables se toma la que contiene la menor potencia).
El factor común sera uno de los factores (en algunos casos se coloca dentro de paréntesis).
Dividimos cada término del polinomio por el factor común, éste resultado será nuestro otro factor. y lo ubicaremos a un lado del factor común pero dentro de paréntesis.
Unimos los factores.

Debemos tener presente que al multiplicar ambos polinomios, por medio de la propiedad distributiva nos debe dar el polinomio inicial.

Ejercicios de factorización por factor común o por agrupación de términos de un polinomio , 11 ejemplos resueltos

1.- $\small 2x-x^{2}=$

Solución:

El factor común es: $\small x$

Dividimos cada término por el factor común $\small \frac{2x}{x}= 2$ y $\small \frac{x^{2}}{x}=x$

unimos los factores $\small 2x-x^{2}=x(2-x)$

2.- $\small 2x^{3}y-8x^{2}y^{2}=$

Solución:

El factor común es: $\small 2x^{2}y$ se tomo el menor coeficiente de los términos y las variables con su menor exponente

Dividimos cada término por el factor común $\small \frac{2x^{3}y}{2x^{2}y}= x$ y $\small \frac{8x^{2}y^{2}}{2x^{2}y}= 4y$

unimos los factores $\small 2x^{3}y-8x^{2}y^{2}=2x^{2}y(x-4y)$

3.- $\small 20x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}-30x^{2}y^{2}=$

Solución:

Factor común es: $\small 10x^{2}y^{2}$ se tomo el mayor divisor de todos y las variables con menor exponente

Dividimos cada término por el factor común $\small \frac{20x^{3}y^{2}}{10x^{2}y^{2}}= 2x$ $\small \frac{10x^{2}y^{3}}{10x^{2}y^{2}}= y$ $\small \frac{30x^{2}y^{2}}{10x^{2}y^{2}}= 3$

unimos los factores $\small 20x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}-30x^{2}y^{2}=10x^{2}y^{2}(2x+y-3)$

4.- $\small x(a+1)-3(a+1)=$

Solución:

Factor común es: $\small a+1$

Dividimos cada término por el factor común $\small \frac{x(a+1)}{(a+1)}=x$ $\small \frac{3(a+1)}{(a+1)}=3$

unimos los factores $\small x(a+1)-3(a+1)=(a+1)(x-3)$

5.- $\small 2x(3x-2)-7(3x-2)=$

Solución:

Factor común es: $\small 3x-2$

Dividimos cada término por el factor común $\small \frac{2x(3x-2)}{(3x-2)}=2x$ $\small \frac{7(3x-2)}{(3x-2)}=7$

unimos los factores $\small 2x(3x-2)-7(3x-2)=(3x-2)(2x-7)$

6.- $\small 4m(a^{2}+x-1)+3n(x-1+a^{2})=$

Solución:

Factor común es: $\small a^{2}+x-1$

Dividimos cada término por el factor común $\small \frac{4m(a^{2}+x-1)}{(a^{2}+x-1)}=4m$ $\small \frac{3n(x-1+a^{2})}{(a^{2}+x-1)}=3n$

unimos los factores $\small 4m(a^{2}+x-1)+3n(x-1+a^{2})=(a^{2}+x-1)(4m+3n)$

7.- $\small 2x^{3}+6x^{2}-4x=$

Solución:

Factor común es: $\small 2x$

Dividimos cada término por el factor común $\small \frac{2x^{3}}{2x}= x^{2}$ $\small \frac{6x^{2}}{2x}=3x$ $\small \frac{4x}{2x}=2$

unimos los factores $\small 2x^{3}+6x^{2}-4x=(2x)(x^{2}+3x-2)$

8.- $\small 45x^{10}-30x^{6}-10x^{4}=$

Solución:

Factor común es: $\small 5x^{4}$ se tomo el mayor divisor de todos y las variables con menor exponente

Dividimos cada término por el factor común $\small \frac{45x^{10}}{5x^{4}}= 9x^{6}$ $\small \frac{30x^{6}}{5x^{4}}=6x^{2}$ $\small \frac{10x^{4}}{5x^{4}}=2$

unimos los factores $\small 45x^{10}-30x^{6}-10x^{4}=5x^{4}(9x^{6}-6x^{2}-2)$

Otros ejemplos de factorización por agrupación de términos

9.- $\small ax+bx+ay+by=$

Solución:

En esta expresión no existe un factor común a todos los términos; sin embargo $\small (x)$ es común en los dos primeros términos; mientras que $\small (y)$ lo es en los dos últimos términos, entonces sacamos dichos factores y nos queda:

$\small x(a+b)+y(a+b)=$

Ahora podemos factorizar:

Factor común es: $\small a+b$

Dividimos cada término por el factor común $\small \frac{x(a+b)}{(a+b)}= x$ $\small \frac{y(a+b)}{(a+b)}=y$

unimos los factores $\small x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)$

10.- $\small 3x^{2}-6xy+4x-8y=$

Solución:

En esta expresión no existe un factor común a todos los términos; sin embargo $\small (3x)$ es común en los dos primeros términos; mientras que $\small (2y)$ lo es en los dos últimos términos, entonces sacamos dichos factores y nos queda:

$\small 3x(x-2y)+4(x-2y)$

Ahora podemos factorizar:

Factor común es: $\small x-2y$

Dividimos cada término por el factor común $\small \frac{3x(x-2y)}{(x-2y)}= 3x$ $\small \frac{4(x-2y)}{(x-2y)}=4$

unimos los factores $\small 3x(x-2y)+4(x-2y)=(x-2y)(3x+4y)$

11.- $\small 3ax-3x+4y-4ay=$

Solución:

En esta expresión no existe un factor común a todos los términos; sin embargo $\small (3x)$ es común en los dos primeros términos; mientras que $\small (4y)$ lo es en los dos últimos términos, entonces sacamos dichos factores y nos queda:

$\small 3x(a-1)+4y(1-a)=$

Se observa que no se origino otro factor común. Los términos que están entre paréntesis difieren en la posición; en este caso se invierte la posición de los términos de alguno de los paréntesis y se cambia el signo que esté a la izquierda del paréntesis y nos queda:

$\small 3x(a-1)+4y(1-a)=3x(a-1)-4y(a-1)$

Ahora podemos factorizar:

Factor común es: $\small a-1$

Dividimos cada término por el factor común $\small \frac{3x(a-1)}{(a-1)}= 3x$ $\small \frac{4y(a-1)}{(a-1)}=4y$

unimos los factores $\small 3x(a-1)+4y(1-a)=3x(a-1)-4y(a-1)=(a-1)(3x-4y)$