Resta de polinomios

Existen diferentes tipos de polinomios, y de la misma manera distintas, operaciones aritméticas que realizar con ellos; una de ellas es la resta de polinomios; la cual tiene una relación muy estrecha con la suma de polinomios. A  continuación en el siguiente post, estudiaremos las diferentes definiciones acerca de la resta de polinomios y las diversas formas de realizar dicha operación aritmética en los diferentes polinomios.

Qué es la resta de polinomios

Es una operación mediante la cual, al primer polinomio se le asignara el nombre de minuendo y al segundo polinomio se le llamara sustraendo; y procederemos a transformar la resta en una suma; sumándole al minuendo el opuesto el sustraendo.

Restar polinomios, se puede decir que es lo mismo que sumar polinomios, solo tenemos que cambiar el segundo polinomio por su opuesto y realizar la suma de polinomios.

Antes de estudiar la resta con polinomios, es necesario, estudiar el procedimiento para efectuar restas de monomios; ya que los polinomios, binomios, trinomios o cualquier tipo de polinomios están compuestos por monomios y restar un polinomio es restar monomios con términos semejantes (exponentes iguales).

Resta de monomios

La resta de monomios es el principio para estudiar la resta de polinomios ya que un polinomio esta formado por varios monomios.

Para restar monomios semejantes se debe sumar a los coeficientes del primer polinomio o minuendo el opuesto de los coeficientes del segundo polinomio o sustraendo (teniendo en cuenta que los términos de los polinomios semejantes, mismo exponente) y se escribe la parte literal igual (la variable y el exponente); y el resultado será un monomio reducido a un solo término. Al realizar éste procedimiento debemos tener presente que signos iguales se suman y si son diferentes se restan.

En los monomios que no son semejantes en esta operación el resultado no podrá ser reducido a un solo término, ya que no podemos restar coeficientes de términos con diferente exponente.

Ejercicios de resta de monomios, ejemplos resueltos

1.-   Dados los monomios: P(x)= 5x^{4}    y   Q(x)=x^{4} ;  encontrar  P(x)-Q(x)

Solución:

Calculamos el opuesto del segundo polinomio    -Q(x)=-x^{4}

Sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo

P(x)+\left [-Q(x) \right ]= 5x^{4}+\left (-x^{4} \right )

P(x)-Q(x)= 5x^{4}-x^{4}

P(x)-Q(x)= 4x^{4}

Se observa que se restaron los coeficientes, por tener signos distintos y la parte literal se dejo igual.

2.-   Dados los monomios P(x)= -\frac{2}{3}x^{2}    y    Q(x)=-\frac{1}{3}x^{2}    encontrar  P(x)-Q(x)

Solución:

Calculamos el opuesto del segundo polinomio    -Q(x)=\frac{1}{3}x^{2}

Sumamos

P(x)+\left [-Q(x) \right ]= -\frac{2}{3}x^{2}+\left ( \frac{1}{3}x^{2} \right )

P(x)-Q(x)=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{1}{3}x^{2}

P(x)-Q(x)=-\frac{1}{3}x^{2}

Se resolvió la operación con los coeficientes por resta de fracciones de igual denominador ya que signos diferentes se restan y se le coloco al resultado el signo del número mayor.

3.-   Dados los monomios P(x)= -3x^{5}    y    Q(x)=6x^{3}  encontrar   P(x)+Q(x)

Solución:

Calculamos el opuesto del segundo polinomio    -Q(x)=-6x^{3}

Sumamos

P(x)+\left [-Q(x) \right ]=-3x^{5}+\left (-6x^{3} \right )

P(x)-Q(x)=-3x^{5}-6x^{3}   no son monomios semejantes; no se pueden sumar;  entonces el resultado de la suma es un binomio.

Para restar monomios con polinomios el procedimiento es igual al de la resta de polinomios. Esto lo entenderás de mejor manera con las definiciones que se explican a continuación:

Cómo restar polinomios

Para llevar a cabo la resta de dos o mas polinomios, debemos primero identificar sus términos semejantes (mismo grado); agrupados estos términos, sumamos los coeficientes del primer polinomio con el opuesto del segundo polinomio. En algunos casos si el polinomio no está completo, lo completamos con coeficientes iguales a cero (0). El resultado que se obtiene de restar dos o mas polinomios es un solo polinomio.

Para restar binomios, trinomios, cuatrinomios o cualquier tipo de polinomio el procedimiento es el mismo; solo se selecciona el método de preferencia y se procede a realizar la resta.

Existen dos métodos para resolver restas de polinomios; los dos son muy parecidos, pero aun así, no todos utilizan el mismo método al momento de resolver las resta:

  1. De forma horizontal.
  2. De forma vertical.

Cómo restar polinomios de forma horizontal

Para restar polinomios de ésta forma debemos:

  1. Ordenar los polinomios.
  2. Calculamos el opuesto del segundo polinomio.
  3. Representamos la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo.
  4. Agrupar los términos del mismo grado (mismo exponente).
  5. Efectuamos la suma de los términos semejantes del polinomio, teniendo en cuenta que signos iguales se suman y signos diferentes se restan. Al resultado obtenido se le colocara el signo del número mayor.

Ejemplos de resta de polinomios de forma horizontal, ejercicios resueltos

1.- Dados los polinomios P(x)= 6x^{3}+4x-8    y  Q(x)= x-3x^{2}+2x^{3}  encontrar  P(x)-Q(x)

Solución:

Ordenamos los polinomios

P(x)= 6x^{3}+4x-8                        Q(x)= 2x^{3}-3x^{2}+x

Calculamos el opuesto del segundo polinomio  -Q(x)= -2x^{3}+3x^{2}-x

Nos queda   P(x)+\left [-Q(x) \right ]=\left (6x^{3}+4x-8\left \right ) +( -2x^{3} +3x^{2}-x\right )

Agrupamos los términos del mismo grado y efectuamos la suma de polinomios 

P(x)+\left [-Q(x) \right ]=\left (6x^{3}-2x^{3}+3x^{2}+4x-x-8\left \right )

P(x)-Q(x)=\left (4x^{3}+3x^{2}+3x-8\left \right )

2.-   Dados los polinomios P(x)=3x^{4}+2x^{2}+5x+8     y   Q(x)=6x^{3}+8x+3   encontrar P(x)+Q(x)

Solución:

Como los polinomios ya están ordenados calculamos el opuesto del segundo polinomio

P(x)=3x^{4}+2x^{2}+5x+8                   -Q(x)=-6x^{3}-8x-3

Nos queda      P(x)+\left [-Q(x) \right ]=\left (3x^{4}+2x^{2}+5x+8 \right )+\left ( -6x^{3} -8x-3\right )

Agrupamos los términos semejantes y realizamos la suma de polinomios

P(x)+\left [-Q(x) \right ]=\left (3x^{4}-6x^{3}+2x^{2}+5x-8x+8-3 \right )

P(x)-Q(x)=3x^{4}-6x^{3}+2x^{2}-3x+5

Cómo se restan los polinomios de forma vertical

Para restar polinomios de forma vertical, debemos hacerlo de la manera siguiente:

  1. Ordenamos los polinomios.
  2. Completamos con ceros (0) el polinomio si hace falta algún término de algún grado.
  3. Calculamos el opuesto del segundo polinomio.
  4. Agrupamos los términos del mismo grado uno debajo del otro.
  5. Efectuamos la suma de los términos semejantes,teniendo en cuenta que signos iguales se suman y signos diferentes se restan. Al resultado obtenido se le colocara el signo del número mayor.

Ejemplos de resta de polinomios de forma vertical, ejercicios resueltos

1.-   Dados los siguientes polinomios:

P(x)= x^{5}-x^{4}+3x^{2}+x+1   y  Q(x)=-4x^{5}+x^{3}-x^{2}+5x-2   encontrar  P(x)-Q(x)

Solución:

Ordenados,  y  completamos

P(x)= x^{5}-x^{4}+0x^{3}+3x^{2}+x+1                     Q(x)=-4x^{5}+0x^{4}+x^{3}-x^{2}+5x-2

Calculamos el opuesto del segundo polinomio  -Q(x)=4x^{5}-0x^{4}-x^{3}+x^{2}-5x+2

Agrupamos los términos del mismo grado uno debajo del otro y sumamos de polinomios verticalmente

resta de polinomios P(x)-Q(x)

2.-   Dados los siguientes polinomios P(x)= -5x^{3}-2x^{2}+3x-12        Q(x)=4x^{3}+5x-2x^{2}+3      y  R(x)= -4x^{2}+1-6x^{3}+4x

encontrar  P(x)-Q(x)-R(x)

Solución:

Ordenamos los polinomios ya que están completos

P(x)= -5x^{3}-2x^{2}+3x-12     Q(x)=4x^{3}-2x^{2}+5x+3     R(x)= -6x^{3}-4x^{2}+4x+1

Calculamos el opuesto de los últimos polinomios » los que tienen el menos (-) delante »

-Q(x)=-4x^{3}+2x^{2}-5x-3                      -R(x)= 6x^{3}+4x^{2}-4x-1

Agrupamos y sumamos

Resta de polinomios P(x)-Q(x)-R(x)

3.-   Dados los siguientes polinomios M(x)= 2x^{2}-15        S(x)=-5x^{2}+x^{3}-3x     encontrar M(x)-S(x)

Solución:

Ordenamos  y completamos los polinomios

M(x)= 0x^{3}+2x^{2}+0x-15                      S(x)=x^{3}-5x^{2}-3x+0

Calculamos el opuesto del segundo polinomio        -S(x)=-x^{3}+5x^{2}+3x-0

Agrupamos y sumamos

Resta de polinomios M(x)-S(x)

Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios

Para restar polinomios, cuando sus coeficientes son fracciones, el procedimiento a seguir es el mismo que se usa para la resta de polinomio con números enteros, solo que para restar los coeficientes (las fracciones) debemos tener conocimiento acerca de la suma y resta de fracciones.

Ejemplos de resta de polinomios con coeficientes fraccionarios

1.-   Dados los polinomios  G(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{4}{5}x-\frac{1}{4}            Q(x)=\frac{7}{2}x^{2}-\frac{1}{5}x-\frac{3}{4}   encontrar G(x)-Q(x)

Solución:

Completamos los polinomios ya que están ordenados

G(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{4}{5}x-\frac{1}{4}                    Q(x)=0x^{3}+\frac{7}{2}x^{2}-\frac{1}{5}x-\frac{3}{4}

Calculamos el opuesto del segundo polinomio    -Q(x)=-0x^{3}-\frac{7}{2}x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{3}{4}

Agrupamos y sumamos

\fn_cm \frac{\begin{matrix} G(x)&=&&&&\frac{2}{3}x^{3}&-\frac{1}{2}x^{2}&+\frac{4}{5}x&-\frac{1}{4} \\-Q(x)&=&&&&-0x^{3}&-\frac{7}{2}x^{2}&+\frac{1}{5}x&+\frac{3}{4} \end{matrix}}{\begin{matrix} G(x)+\left [-Q(x) \right ]=\frac{2}{3}x^{3}&-4x^{2}&+x& + \frac{1}{2} \end{matrix}}

Se realizaron las siguientes sumas de fracciones de igual denominador:

-\frac{1}{2}-\frac{7}{2}=-\frac{8}{2}=-4           ,              \frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1                 ,            -\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

2.-   Dados  G(x)=\frac{4}{8}x^{5}-\frac{3}{7}x^{3}-5x^{2}+\frac{3}{2}x+6      y     H(x)= -\frac{2}{7}x^{4}+\frac{1}{5}x^{3}+\frac{1}{3}x-7  encontrar la resta de polinomios G(x)-H(x)

Solución:

Completamos los polinomios ya que están ordenados

G(x)=\frac{4}{8}x^{5}+0x^{4}-\frac{3}{7}x^{3}-5x^{2}+\frac{3}{2}x+6        H(x)= 0x^{5}-\frac{2}{7}x^{4}+\frac{1}{5}x^{3}+0x^{2}+\frac{1}{3}x-7

Calculamos el opuesto del segundo polinomio -H(x)= -0x^{5}+\frac{2}{7}x^{4}-\frac{1}{5}x^{3}-0x^{2}-\frac{1}{3}x+7

Agrupamos y sumamos

\fn_cm \frac{\begin{matrix} G(x)&=&&&&\frac{4}{8}x^{5}&+0x^{4}&-\frac{3}{7}x^{3}&-5x^{2}&+\frac{3}{2}x&+6\\ -H(x)&=&&&&-0x^{5}&+\frac{2}{7}x^{4}&-\frac{1}{5}x^{3}&-0x^{2}&-\frac{1}{3}x&+7\end{matrix}}{\begin{matrix} G(x)+\left [-H(x) \right ]=\frac{1}{2}x^{5}&+\frac{2}{7}x^{4}-\frac{22}{35}x^{3}&-5x^{2}+\frac{7}{6}x&-13 \end{matrix}}

Se observa que se realizaron sumas de enteros, sumas y restas de fracciones con diferente denominador:

\frac{4}{8}-0=\frac{4-0}{8*1}=\frac{4}{8}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}     ,        0+\frac{2}{7}=\frac{0+2}{1*7}=\frac{2}{7}       ,    \frac{3}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3*3-2*1}{2*3}=\frac{7}{6}  ,

-\frac{3}{7}-\frac{1}{5}=\frac{-3*5+7*-1}{7*5}=\frac{-15-7}{35}=-\frac{22}{35}

3.-   Dado   G(x)=-\frac{1}{7}x^{4}-\frac{5}{9}x^{3}-9x^{2}-\frac{3}{2}x+5    y    N(x)=-\frac{8}{7}x^{4}+\frac{3}{5}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-6x+6   encontrar G(x)+N(x)

Solución:

Como los polinomios ya están ordenados y completos, se procede a calcular el opuesto del segundo polinomio      -N(x)=+\frac{8}{7}x^{4}-\frac{3}{5}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+6x-6

Ahora agrupamos y sumamos

\fn_cm \frac{\begin{matrix} G(x)&=&&&&-\frac{1}{7}x^{4}&-\frac{5}{9}x^{3}&-9x^{2}&-\frac{3}{2}x&+5&\\-N(x)&=&&&&+\frac{8}{7}x^{4}&-\frac{3}{5}x^{3}&+\frac{3}{2}x^{2}&+6x&-6&\end{matrix}}{\begin{matrix} G(x)+\left [-N(x) \right ]= x^{4}&-\frac{52}{45}x^{3}&-\frac{15}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x&-1 \end{matrix}}

Se hicieron sumas de enteros y  sumas de fracciones de igual denominador y  de diferente denominador:

-\frac{1}{7}+\frac{8}{7}=\frac{7}{7}=1   ,       -\frac{5}{9}-\frac{3}{5}=\frac{-25-27}{45}=-\frac{52}{45}    ,      -9+\frac{3}{2}=\frac{-18+3}{2}=-\frac{15}{2}

-\frac{3}{2}+6=\frac{-3+12}{2}=\frac{9}{2}

Resta de polinomios, ejercicios para resolver

1.-   Dado  P(x)=-9x^{5}-3x^{3}+6x^{2}-9x^{4}-7x+14     y    H(x)= -2x^{3}+8x-24-x^{4}-3x^{2}   encontrar la resta de polinomios  P(x)-H(x)

2.-   Dados los polinomios  G(x)=-7x^{3}-8x^{2}+6         y        S(x)= 7x^{4}-5x-1-2x^{3}   encontrar G(x)-S(x)

3.-   Dados  G(x)=\frac{2}{5}x^{5}-\frac{3}{2}x^{3}-\frac{3}{6}x+\frac{4}{7}        y     H(x)=\frac{1}{5}x^{3}-\frac{2}{3}x-\frac{7}{4}   encontrar la resta de polinomios  G(x)-H(x)

4.-   Dados  R(x)=\frac{4}{8}x^{4}-\frac{3}{5}x^{3}-10x^{2}+\frac{1}{3}x+9      y      G(x)=\frac{13}{8}x^{4}-\frac{9}{5}x^{3}-7x^{2}+\frac{10}{3}x-26     encontrar la resta de polinomios R(x)-G(x)

5.-   Dados los polinomios  T(x)=-\frac{1}{5}x^{3}-3x^{4}+\frac{7}{9}x-27     y    M(x)=2x^{3}+\frac{1}{9}x^{4}+\frac{8}{3}x+10  encontrar    T(x)-M(x)