Suma de polinomios

En los diferentes tipos de polinomios, podemos realizar, distintas operaciones aritméticas; entre ellas tenemos la suma de polinomios. En el siguiente post, estudiaremos las diferentes definiciones acerca de la suma de polinomios y las diversas formas de realizar esa operación aritmética en los polinomios.

Qué es la suma de polinomios

La suma de polinomios se refiere a la combinación de términos semejantes; es decir aquellos que tienen el mismo grado (exponente).

Para estudiar cómo se hace la suma de polinomios, es importante conocer antes, un poco sobre la suma de monomios ya que al sumar polinomios, binomios, trinomios o cualquier tipo de polinomios estaremos sumando monomios con términos semejantes debido a que tienen el mismo exponente. Sumar un polinomio es sumar varios monomios de términos semejantes.

Suma algebraica de monomios semejantes y no semejantes

Éste es el principio de la suma de polinomios ya que un polinomio esta formado por varios monomios.

Para sumar monomios semejantes se deben sumar los coeficientes de los términos semejantes (los que tienen el mismo exponente) y se escribe la parte literal igual (la variable y el exponente); y el resultado será un monomio reducido a un solo término.

En los monomios que no son semejantes la suma no es posible reducirla a un solo término ya que no podemos sumar coeficientes de términos con diferente exponente.

Ejemplos de suma de monomios con términos semejantes, ejercicios resueltos

1.-   Dados los monomios: P(x)= 3x^{5}    y    Q(x)=x^{5} ;  encontrar   P(x)+Q(x)

Solución:

P(x)+Q(x)= 3x^{5}+x^{5}

P(x)+Q(x)= 4x^{5}

Como se puede observar se sumaron los coeficientes y la parte literal se dejo igual.

2.-   Dados los monomios P(x)= -\frac{1}{4}x^{3}    y    Q(x)=-\frac{3}{4}x^{3}    encontrar   P(x)+Q(x)

Solución:

P(x)+Q(x)=-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{3}{4}x^{3}=-\frac{4}{4}x^{3}=-x^{3}

Se sumaron los coeficientes por suma de fracciones de igual denominador ya que signos iguales se sumas, se dividió (4) entre (4) y al resultado uno (1) se le coloco el signo del número mayor.

Ejemplos de suma de monomios con términos no semejantes, ejercicios resueltos

1.-   Dados los monomios P(x)= x^{4}    y    Q(x)=6x^{2}  encontrar   P(x)+Q(x)

Solución:

P(x)+Q(x)=x^{4}+6x^{2}  como no son monomios semejantes el resultado de la suma es un binomio

2.-    Dados los monomios P(x)= -2x^{3}    y    Q(x)=5x  encontrar   P(x)+Q(x)

Solución:

P(x)+Q(x)=-2x^{3}+5x  por no ser monomios semejantes los coeficientes de los términos no se pueden sumar.

Para sumar monomios con polinomios el procedimiento es igual al de la suma de polinomios. Esto lo entenderás de mejor manera siguiendo la definición que se explica a continuación:

Cómo sumar polinomios

Para llevar a cabo la suma de dos o mas polinomios debemos identificar sus términos y sumamos los coeficientes de aquellos términos que poseen el mismo grado. En algunos casos si el polinomio no está completo, lo completamos con coeficientes iguales a cero (0). El resultado de sumar dos o mas polinomios es obtener un solo polinomio.

Para sumar binomios, trinomios, cuatrinomios o cualquier tipo de polinomio el procedimiento a realizar es el mismo; se selecciona el método de preferencia y se continua realizando la suma.

La suma de polinomios puede hacerse de dos formas aunque las dos son muy parecidas:

  1. De forma horizontal.
  2. De forma vertical.

Cómo sumar polinomios de forma horizontal

Para sumar polinomios de ésta forma debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Se ordenan los polinomios.
  2. Agrupamos los términos del mismo grado ( mismo exponente)
  3. Efectuamos la suma de los términos semejantes, teniendo en cuenta que signos iguales se suman y signos diferentes se restan. Al resultado obtenido se le colocara el signo del número mayor.

Ejemplos de suma de polinomios de forma horizontal, ejercicios resueltos

1.- Dados los polinomios P(x)= 2x^{3}+5x-3    y   Q(x)= 4x-3x^{2}+2x^{3}  encontrar  P(x)+Q(x)

Solución:

Ordenamos los polinomios

P(x)= 2x^{3}+5x-3       +       Q(x)= 2x^{3}-3x^{2}+4x

Agrupamos los términos del mismo grado

P(x)+Q(x)=2x^{3}+2x^{3}-3x^{2}+5x+4x-3

Sumamos los coeficientes de los términos del mismo grado

P(x)+Q(x)=4x^{3}-3x^{2}+9x-3

2.-   Dados los polinomios P(x)=7x^{4}+4x^{2}+7x+2     y   Q(x)=6x^{3}+8x+3   encontrar P(x)+Q(x)

Solución:

Los polinomios están ordenados

P(x)=7x^{4}+4x^{2}+7x+2      +     Q(x)=6x^{3}+8x+3

Agrupamos los términos semejantes

P(x)+Q(x)=7x^{4}+6x^{3}+4x^{2}+7x+8x+2+3

Sumamos

P(x)+Q(x)=7x^{4}+6x^{3}+4x^{2}+15x+5

Cómo se suman los polinomios de forma vertical

Para sumar polinomios de ésta forma, el procedimiento es casi el mismo de cuando la suma es horizontal, debemos hacerlo de la manera siguiente:

  1. Ordenar los polinomios.
  2. Completar con ceros (0) el polinomio si hace falta algún término de algún grado.
  3. Se agrupan los términos del mismo grado uno debajo del otro.
  4. Efectuamos la suma de los términos semejantes, teniendo en cuenta que signos iguales se suman y signos diferentes se restan. Al resultado obtenido se le colocara el signo del número mayor.

Ejemplos de suma algebraica de polinomios de forma vertical, ejercicios resueltos

1.-   Dados los siguientes polinomios P(x)= x^{4}-3x^{2}+x+1    y    Q(x)=x^{3}-x^{2}+5x-2 encontrar  P(x)+Q(x)

Solución:

Como los polinomios están ordenados, los completamos

P(x)= x^{4}+0x^{3}-3x^{2}+x+1             +             Q(x)=0x^{4}+x^{3}-x^{2}+5x-2

Agrupamos los términos del mismo grado uno debajo del otro y sumamos

Suma de polinomios P(x) +Q(x)

2.-   Dados los siguientes polinomios P(x)= -3x^{3}-4x^{2}+x-8        Q(x)=4x^{3}+5x-2x^{2}+3      y  R(x)= -5x^{2}+14-3x^{3}+3x

encontrar  P(x)+Q(x)+R(x)

Solución:

Ordenamos los polinomios

P(x)= -3x^{3}-4x^{2}+x-8    +  Q(x)=4x^{3}-2x^{2}+5x+3   +  R(x)= -3x^{3}-5x^{2}+3x+14

Los polinomios están completos; agrupamos y sumamos

Suma de polinomios P(x) + Q(x) +R(x)

3.-   Dados los siguientes polinomios M(x)= 2x^{2}-15        S(x)=-5x^{2}+x^{3}-3x     encontrar M(x)+S(x)

Solución:

Ordenamos  y completamos los polinomios

M(x)= 0x^{3}+2x^{2}+0x-15        +        S(x)=x^{3}-5x^{2}-3x+0

Agrupamos y sumamos

Suma de polinomios M(x)+S(x)

Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios

Para sumar polinomios con coeficientes fraccionarios, el procedimiento es el mismo que se usa para sumar un polinomio con números enteros, solo que para sumar los coeficientes (las fracciones) debemos tener conocimiento acerca de la suma de fracciones.

Ejemplos de suma de polinomios con coeficientes fraccionarios

1.-   Dados los polinomios  G(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{4}{5}x-\frac{1}{4}      y     Q(x)=\frac{7}{2}x^{2}-\frac{1}{5}x-\frac{3}{4}          encontrar  G(x)+Q(x)

Solución:

Completamos los polinomios ya que están ordenados

G(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{4}{5}x-\frac{1}{4}                    Q(x)=0x^{3}+\frac{7}{2}x^{2}-\frac{1}{5}x-\frac{3}{4}

Agrupamos y sumamos

\fn_cm \frac{\begin{matrix} G(x)&=&&&&\frac{2}{3}x^{3}&-\frac{1}{2}x^{2}&+\frac{4}{5}x&-\frac{1}{4} \\ Q(x)&=&&&&0x^{3}&+\frac{7}{2}x^{2}&-\frac{1}{5}x&-\frac{3}{4} \end{matrix}}{\begin{matrix} G(x)+Q(x)=&\frac{2}{3}x^{3}&+3x^{2}&+\frac{3}{5}x&-1 \end{matrix}}

Se realizaron las siguientes sumas de fracciones de igual denominador:

-\frac{1}{2}+\frac{7}{2}=\frac{6}{2}=3                                 \frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}                                  -\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{4}{4}=-1

2.-   Dados los polinomios  G(x)=\frac{4}{8}x^{5}-\frac{3}{7}x^{3}-5x^{2}+\frac{3}{2}x+6     \fn_cm +     H(x)= 3x^{3}+\frac{1}{5}x-7  encontrar G(x)+H(x)

Solución:

Completamos los polinomios ya que están ordenados

G(x)=\frac{4}{8}x^{5}+0x^{4}-\frac{3}{7}x^{3}-5x^{2}+\frac{3}{2}x+6     \fn_cm +        H(x)= 0x^{5}+0x^{4}+3x^{3}+0x^{2}+\frac{1}{5}x-7

Agrupamos y sumamos

\fn_cm \frac{\begin{matrix} G(x)&=&&&&\frac{4}{8}x^{5}&+0x^{4}&-\frac{3}{7}x^{3}&-5x^{2}&+\frac{3}{2}x&+6\\ H(x)&=&&&&0x^{5}&+0x^{4}&+3x^{3}&+0x^{2}&+\frac{1}{5}x&-7\end{matrix}}{\begin{matrix} G(x)+H(x)=&\frac{1}{2}x^{5}&+0x^{4}+\frac{18}{7}x^{3}&-5x^{2}+\frac{17}{10}x&-1 \end{matrix}}

Como se observa se sumaron los términos semejante  y teníamos las  suma de fracciones:

\frac{4}{8}+0=\frac{4+0}{8*1}=\frac{4}{8}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

-\frac{3}{7}+3=\frac{-3+21}{7*1}=\frac{18}{7}

\frac{3}{2}+\frac{1}{5}=\frac{3*5+2*1}{2*5}=\frac{17}{10}

3.-   Dado   G(x)=-\frac{1}{7}x^{4}-\frac{5}{9}x^{3}-9x^{2}-\frac{3}{2}x+5    y    N(x)=-\frac{8}{7}x^{4}+\frac{3}{5}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-6x+6   encontrar G(x)+N(x)

Solución:

Como los polinomios están ordenados y completos, entonces procedemos a agrupar y sumar

\fn_cm \frac{\begin{matrix} G(x)&=&&&&-\frac{1}{7}x^{4}&-\frac{5}{9}x^{3}&-9x^{2}&-\frac{3}{2}x&+5&\\ N(x)&=&&&&-\frac{8}{7}x^{4}&+\frac{3}{5}x^{3}&-\frac{3}{2}x^{2}&-6x&+6&\end{matrix}}{\begin{matrix} G(x)+N(x)=&-\frac{9}{7}x^{4}&+\frac{2}{45}x^{3}&-\frac{21}{2}x^{2}-\frac{15}{2}x&+11 \end{matrix}}

Se hicieron sumas de enteros y  sumas de fracciones de igual denominador y  de diferente denominador:

-\frac{1}{7}-\frac{8}{7}=-\frac{9}{7}

-\frac{5}{9}+\frac{3}{5}=\frac{-25+27}{45}=\frac{2}{45}

-9-\frac{3}{2}=\frac{-18-3}{2}=-\frac{21}{2}

-\frac{3}{2}-6=\frac{-3-12}{2}=-\frac{15}{2}

Suma de polinomios, ejercicios para resolver

1.-   Dados los polinomios  P(x)=-6x^{5}-8x^{3}-4x^{2}+7x^{4}-7x+6   y  H(x)= 3x^{3}+5x-7-4x^{4}-7x^{2}   encontrar P(x)+H(x)

2.-   Dados los polinomios  G(x)=-x^{3}-8x^{2}+6         y          S(x)= 3x^{4}+2x-12   encontrar G(x)+S(x)

3.-   Dados los polinomios  G(x)=\frac{2}{5}x^{5}-\frac{3}{2}x^{3}-\frac{3}{6}x+\frac{4}{7}     y    H(x)=\frac{1}{5}x^{3}-\frac{2}{3}x-\frac{7}{4}   encontrar G(x)+H(x)

4.-   Dados los polinomios  R(x)=\frac{4}{8}x^{4}-\frac{3}{5}x^{3}-5x^{2}+\frac{1}{3}x+6     y    G(x)=\frac{13}{8}x^{4}-\frac{9}{5}x^{3}-7x^{2}+\frac{10}{3}x-26     encontrar R(x)+G(x)

5.-   Dados los polinomios  T(x)=-\frac{1}{5}x^{3}+5x^{4}+\frac{7}{9}x-2    y  M(x)=-8x^{3}+\frac{1}{9}x^{4}+\frac{8}{3}x+10  encontrar    T(x)+M(x)