Variación de parámetros

En este post te explicaremos de forma detallada como hallar la solución de una EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR COMPLETA empleando el método de variación de parámetros.

El método de Variación de parámetros se emplea para hallar la solución general de la ecuación P(D)y=q(x), en el caso de que q(x) no pertenezca al conjunto de funciones de la forma $\left\lbrace e^{ax},\, sen(ax),\, cos(ax), \, e^{ax}v,\, xv \, y \, x^{k}\right\rbrace$ ; es decir, no se puede aplicar el método del operador inverso, el método del que hablamos en una publicación anterior

**Determinación de la solución particular de una E.D.O Completa P(D)y=q(x) utilizando el Método de Variación de parámetros**

Para hallar la solución general de la ecuación P(D)y=q(x), en el caso de que q(x) no pertenezca al conjunto de funciones de la forma $\left\lbrace e^{ax},\, sen(ax),\, cos(ax), \, e^{ax}v,\, xv \, y \, x^{k}\right\rbrace$ , no se puede aplicar el método ya estudiado, excepto en algunos casos especiales, tal como $(D-a)^{n}y=e^{ax}f(x)$ , con f(x) integrable n veces.

En este caso se emplearemos un método especial para obtener la solución particular para cualquier función q(x) continua es el llamado Método de Variación de Parámetros o de las Constantes Arbitrarias, el cual se basa en el siguiente procedimiento:

Pasos para la determinación de la solución particular empleando variación de parámetros

Consideremos la E.D.O lineal de orden n

$a_{0}\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{1}\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\ldots+a_{n-1}\dfrac{dy}{dx}+a_{n}y=q\left( x\right)$

siendo q(x) una función continua y $a_{0}\neq0$ .

Paso 1:

Obtenemos la solución general de la ecuación complementaria u homogénea $P(D)y=0$ $y_{c}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+\ldots+c_{n}y_{n}$ donde $c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}$ son constantes arbitrarias esenciales y $\{y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\}$ un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria.

Si quieres ver algunos ejemplos resueltos paso a paso de como determinar la solución de una ecuación complementaria haz click aquí.

Paso 2:

Suponemos que la solución particular $y_{p}$ de la ecuación completa P(D)y=q(x) tiene la forma

$y_{p}=u_{1}(x)y_{1}+u_{2}(x)y_{2}+\ldots+u_{n}(x)y_{n}$

siendo $u_{1}(x),u_{2}(x),\ldots,u_{n}(x)$ funciones de x a determinar.

Nota: observe que $y_{p}$ se obtiene si se reemplazan las constantes arbitrarias $c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}$ por las funciones $u_{1}(x),u_{2}(x),\ldots,u_{n}(x)$ .

Paso 3:

Resolvemos el sistema de ecuaciones en $u_{1}^{\prime}(x),u_{2}^{\prime}(x),\ldots,u_{n}^{\prime}(x)$

$\left\lbrace \begin{matrix} u_{1}^{\prime}y_{1}\,+u_{2}^{\prime}y_{2}\,+\ldots+u_{n}^{\prime}y_{n}\, =0\\ u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}\,+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}\,+\ldots+u_{n}^{\prime}y_{n}^{\prime}\, =0\\ u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime \prime}\, +u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime \prime}\, +\ldots+u_{n}^{\prime}y_{n}^{\prime \prime}\, =0\\ \vdots\\ u_{1}^{\prime}y_{1}^{(n-1)}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{(n-1)}+\ldots+u_{n}^{\prime}y_{n}^{(n-1)} =\dfrac{q(x)}{a_{0}} \end{matrix}\right.$

Este sistema tiene solución única debido a que el determinante del sistema es diferente de cero. Para resolver el sistema se puede emplear cualquier método; sin embargo, se explicará empleando la Regla de Cramer.

Paso 4:

Determinemos el determinante Wronskiano $W\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\right)$

$W\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\right) = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{n} \\ y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime} & \cdots & y_{n}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_{1}^{(n-1)} & y_{2}^{(n-1)} & \cdots & y_{n}^{(n-1)} \end{vmatrix}$

El que $W\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\right)\neq0$ lo garantiza el hecho de que las columnas de W están formadas por funciones linealmente independientes entre sí y sus derivadas hasta el orden n-1, por lo que no habrán dos columnas proporcionales entre sí.

Si quieres ver algunos ejemplos resueltos paso a paso de como determinar el Wronskiano de un conjunto fundamental de soluciones haz click aquí.

Paso 5:

Determinamos $W_{k}$ sustituyendo la columna k-ésima del Wronskiano por la columna

$\left( \begin{array}{lcr} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ \dfrac{q(x)}{a_{0}} \end{array} \right)$

Paso 6:

Obtenemos

$u_{1}^{\prime}=\dfrac{W_{1}}{W}, \, u_{2}^{\prime}=\dfrac{W_{2}}{W}, \,\ldots ,u_{n}^{\prime}=\dfrac{W_{n}}{W}$

Paso 7:

Integramos cada una de las ecuaciones obtenidas en el paso 6, para de esa manera obtener las funciones $u_{1}(x), \,u_{2}(x), \,\ldots,\,u_{n}(x)$ .

Como se mencionó anteriormente, no se incluyen en estas integraciones las constantes de integración, ya que forman parte de la solución de la ecuación homogénea asociada.

Paso 8:

Sustituimos las funciones $u_{1}(x), \,u_{2}(x), \,\ldots,\,u_{n}(x)$ obtenidas en el paso 7, en la solución particular $y_{p}$ de acuerdo a lo indicado en el paso 2.

Paso 9:

Finalmente la solución general de la ecuación completa es:

$y=y_{c}+y_{p}$

Esperamos que esta información haya sido de tú agrado, no olvides practicar y recuerda calificar nuestra publicación aquí abajo; por último te dejamos algunos ejercicios propuestos (algunos resueltos).

Ejercicios:

Determinar la solución general de la E.D.O
$y^{\prime \prime}+3y^{\prime}+2y=sen\left( e^{x}\right)$ VER SOLUCIÓN
Determinar la solución general de la E.D.O $y^{\prime \prime}+y=tg\left( x\right)$ VER SOLUCIÓN
Obtener la solución general de la ecuación diferencial
$\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}+\dfrac{dy}{dx}= tg(x)$
Determinar la solución general de la E.D.O
$y^{\prime \prime \prime}-2y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2y=e^{3x}$ en este caso emplee los dos métodos operador inverso y variación de parámetros.