Problemas resueltos de variación de parámetros

A continuación te mostramos en este post problema resuelto de variación de parámetros para hallar la solución general de una E.D.O lineal completa.

Si quieres ver los conceptos básicos o las fórmulas del método de variación de parámetros haz click aquí. Te invitamos a seguir leyendo y tomar lápiz y papel para que ejercites los pasos necesarios para resolver una EDO lineal de orden superior completa empleando el método de variación de parámetros.

Te invitamos a seguir leyendo y tomar lápiz y papel para que ejercites los pasos necesarios para resolver una EDO lineal de orden superior completa empleando el método de variación de parámetros.

Ejemplo 1: Determinar la solución general de la E.D.O $y^{\prime \prime}+3y^{\prime}+2y=sen\left( e^{x}\right)$

SOLUCIÓN:

Al escribir la E.D.O en notación abreviada tenemos que $\left( D^{2}+3D+2\right)y =sen\left( e^{x}\right)$ Observación: en este caso q(x) no pertenece al conjunto de funciones de la forma $\left\lbrace e^{ax},\, sen(ax),\, cos(ax), \, e^{ax}v,\, xv \, y \, x^{k}\right\rbrace$ , por lo tanto no se puede aplicar el método del operador inverso.

Si quieres ver los conceptos básicos o las fórmulas de los operadores inversos haz click aquí. Para determinar la solución empleando el método de variación de parámetros se seguirán los siguientes pasos:

Paso 1: Obtenemos la solución complementaria u homogénea $y_{c}$ que resulta de hacer q(x)= 0.

La ecuación característica asociada es $\alpha^{2}+3\alpha+2 =0$ factorizando se obtiene $\left(\alpha+2 \right)\left(\alpha+1 \right) =0 \rightarrow \begin{pmatrix} \alpha = -1\\\alpha = -2 \end{pmatrix}$ Así pues, como las raíces son reales y distintas, podemos escribir la solución general de la ecuación homogénea o complementaria de la siguiente forma:

$y_{c}=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}$

Si quieres ver otros ejemplos resueltos de como determinar la solución de una E.D.O homogénea haz click aquí.

Paso 2: La solución particular $y_{p}$ la obtenemos reemplazando $c_{1}$ y $c_{2}$ por $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$

Suponemos que la solución particular $y_{p}$ de la ecuación completa

$\left( D^{2}+3D+2\right)y =sen\left( e^{x}\right)$

tiene la forma $y_{p}=u_{1}(x)y_{1}+u_{2}(x)y_{2}$ es decir, en este caso

$y_{p}=u_{1}(x)e^{-x}+u_{2}(x)e^{-2x}$

siendo $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$ funciones de x a determinar.

Paso 3: Resolvemos el sistema de ecuaciones en $u_{1}^{\prime}(x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)$

$\left\lbrace \begin{matrix} u_{1}^{\prime}e^{-x}+u_{2}^{\prime}e^{-2x}=0\\ u_{1}^{\prime}(e^{-x})^{\prime}+u_{2}^{\prime}(e^{-2x})^{\prime}=sen\left( e^{x}\right) \end{matrix}\right.$

derivando se obtiene

$\left\lbrace \begin{matrix} u_{1}^{\prime}e^{-x}+u_{2}^{\prime}e^{-2x}=0\\ -u_{1}^{\prime}e^{-x}-2u_{2}^{\prime}e^{-2x}=sen\left( e^{x}\right) \end{matrix}\right.$

Este sistema tiene solución única debido a que el determinante del sistema es diferente de cero. Para resolver el sistema emplearemos la Regla de Cramer.

Paso 4: Determinar el Wronskiano $W\left(y_{1},y_{2}\right)$

$W\left(e^{-x},e^{-2x}\right)= \begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix}=-2e^{-3x}+e^{-3x}=-e^{-3x}$

Observe que $W\left(e^{-x},e^{-2x}\right)\neq0, \, \forall x\in\Re$ .

Si quieres ver algunos ejemplos resueltos paso a paso de como determinar el Wronskiano de un conjunto fundamental de soluciones haz click aquí.

Paso 5: Determinamos $W_{1}$ y $W_{2}$

Para determinar $W_{1}$ se sustituye la primera columna del Wronskiano por la columna $\begin{pmatrix} 0 \\ sen\left( e^{x}\right) \\ \end{pmatrix}$ .

$W_{1}= \begin{vmatrix} 0 & e^{-2x} \\ sen\left( e^{x}\right) & -2e^{-2x} \end{vmatrix}=-e^{-2x}sen\left( e^{x}\right)$

Para determinar $W_{2}$ se sustituye la segunda columna del Wronskiano por la columna $\begin{pmatrix} 0\ sen\left( e^{x}\right)\ \end{pmatrix}$ .

$W_{2}= \begin{vmatrix} e^{-x} & 0 \\ -e^{-x} & sen\left( e^{x}\right) \end{vmatrix}=e^{-x}sen\left( e^{x}\right)$

Paso 6: Obtenemos $u_{1}^{\prime}(x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)$

$u_{1}^{\prime}=\dfrac{W_{1}}{W}= \dfrac{-e^{-2x}sen\left( e^{x}\right) }{-e^{-3x} }=e^{x}sen\left( e^{x}\right)$

$u_{2}^{\prime}=\dfrac{W_{2}}{W}= \dfrac{e^{-x}sen\left( e^{x}\right) }{-e^{-3x} }=-e^{2x}sen\left( e^{x}\right)$

Paso 7: Integrar cada una de las ecuaciones obtenidas en el paso 6, para de esa manera obtener las funciones $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$ .

Para hallar $u_{1}(x)$

$u_{1}(x)= \displaystyle{\int} e^{x}sen\left( e^{x}\right) dx$

Para resolver esta integral se aplica el cambio de variable $z=e^{x}$ , $dz=e^{x}dx$ , por lo tanto $u_{1}(x)= \displaystyle{\int} e^{x}sen\left( e^{x}\right) dx=\displaystyle{\int} sen\left(z\right) dz=-cos\left( z\right)$

devolviendo el cambio de variable nos queda

$u_{1}(x)= \displaystyle{\int} e^{x}sen\left( e^{x}\right) dx=-cos\left( e^{x}\right)$

Para hallar $u_{2}(x)$

$u_{2}(x)= \displaystyle{\int} -e^{2x}sen\left( e^{x}\right) dx$

Para resolver esta integral se aplica el mismo cambio de variable $z=e^{x}$ , $dz=e^{x}dx$ , por lo tanto

$u_{2}(x)= -\displaystyle{\int} e^{x}e^{x}sen\left( e^{x}\right) dx=-\displaystyle{\int} zsen\left(z\right) dz$

esta integral se resuelve empleando el método de integración por partes, siendo $u = z\rightarrow du=dz$ y $dv=sen(z)dz\rightarrow v=-cos(z)$ , por lo tanto

$u_{2}(x)= -\left[ -zcos(z)+\displaystyle{\int} cos\left(z\right) dz\right] =zcos\left( z\right)-sen\left( z\right)$

devolviendo el cambio de variable nos queda

$u_{2}(x)=e^{x}cos\left( e^{x}\right)-sen\left( e^{x}\right)$

Como se mencionó anteriormente, no se incluyen en estas integraciones las constantes de integración, ya que forman parte de la solución de la ecuación homogénea asociada.

Paso 8: Sustituimos las funciones $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$

obtenidas en el paso 7, en la solución particular $y_{p}$ de acuerdo a lo indicado en el paso 2, es decir

$y_{p}=u_{1}(x)e^{-x}+u_{2}(x)e^{-2x}$

sustituyendo

$y_{p}=-cos\left( e^{x}\right)e^{-x}+\left[ e^{x}cos\left( e^{x}\right)-sen\left( e^{x}\right)\right]e^{-2x}$

Simplificando obtenemos que

$y_{p}=-e^{-2x}sen\left( e^{x}\right)$

Paso 9: Finalmente la solución general de la ecuación completa es $y=y_{c}+y_{p}$ :

$y =c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}-e^{-2x}sen\left( e^{x}\right)$

Ejemplo 2: Determinar la solución general de la E.D.O $y^{\prime \prime}+y=tg\left( x\right)$

SOLUCIÓN:

Al escribir la E.D.O en notación abreviada tenemos que

$\left( D^{2}+1\right)y =tg\left( x\right)$

Observación: en este caso q(x) no pertenece al conjunto de funciones de la forma $\left\lbrace e^{ax},\, sen(ax),\, cos(ax), \, e^{ax}v,\, xv \, y \, x^{k}\right\rbrace$ , por lo tanto no se puede aplicar el método del operador inverso.

Para determinar la solución empleando el método de variación de parámetros seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1: Obtenemos la solución complementaria u homogénea $ y_{c} $ que resulta de hacer $ q(x)= 0 $.

La ecuación característica asociada es

$\alpha^{2}+1=0 \rightarrow \alpha^{2}=-1 \rightarrow \alpha = \pm i \rightarrow \begin{cases}a = 0 & \text{ parte real}\\b = 1 & \text{ parte imaginaria}\end{cases}$

es decir que las raíces del polinomio característico son complejas simples. Por lo tanto, usando el principio de superposición para escribir la solución complementaria, se tiene: $y_{c}= c_{1} cos(x)+ c_{2}sen(x)$ Si quieres ver otros ejemplos resueltos de como determinar la solución de una E.D.O homogénea haz click aquí.

Paso 2: La solución particular $y_{p}$ la obtenemos reemplazando $c_{1}$ y $c_{2}$ por $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$

Suponemos que la solución particular $y_{p}$ de la ecuación completa $\left( D^{2}+1\right)y =tg\left( x\right)$ tiene la forma $y_{p}=u_{1}(x)y_{1}+u_{2}(x)y_{2}$ es decir, en este caso

$y_{p}=u_{1}(x)cos(x)+u_{2}(x)sen(x)$

siendo siendo $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$ funciones de x a determinar.

Paso 3: Resolvemos el sistema de ecuaciones en $u_{1}^{\prime}(x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)$

$\left\lbrace \begin{matrix} u_{1}^{\prime}cos(x)+u_{2}^{\prime}sen(x)=0\\ u_{1}^{\prime}(cos(x))^{\prime}+u_{2}^{\prime}(sen(x))^{\prime}=tg\left( x\right) \end{matrix}\right.$

derivando se obtiene

$\left\lbrace \begin{matrix} u_{1}^{\prime}cos(x)+u_{2}^{\prime}sen(x)=0\\ -u_{1}^{\prime}sen(x)+u_{2}^{\prime}cos(x)=tg\left( x\right) \end{matrix}\right.$

Este sistema tiene solución única debido a que el determinante del sistema es diferente de cero. Para resolver el sistema emplearemos la Regla de Cramer.

Paso 4: Determinar el Wronskiano $W\left(y_{1},y_{2}\right)$

$W\left(cos(x),sen(x)\right)=\begin{Bmatrix}cos(x) & sen(x) \\-sen(x) & cos(x) \\\end{Bmatrix}=cos^{2}(x)+sen^{2}(x)=1$

Observe que $W\left(cos(x),sen(x)\right)\neq0, \, \forall x\in\Re$ .

Paso 5: Determinamos $W_{1}$ y $W_{2}$

Para determinar $W_{1}$ se sustituye la primera columna del Wronskiano por la columna $\begin{pmatrix} 0 \\ tg\left( x\right) \\ \end{pmatrix}$ .

$W_{1}= \begin{vmatrix} 0 & sen(x) \\ tg\left( x\right) & cos(x) \end{vmatrix}=-sen(x)tg(x)$

Para determinar $W_{2}$ se sustituye la segunda columna del Wronskiano por la columna $\begin{pmatrix} 0\ tg\left( x\right)\ \end{pmatrix}$

$W_{2}= \begin{vmatrix} cos(x) & 0 \\ -sen(x) & tg\left( x\right) \end{vmatrix}=cos(x)tg(x)=sen(x)$

Paso 6: Obtenemos $u_{1}^{\prime}(x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)$

$u_{1}^{\prime}=\dfrac{W_{1}}{W}= \dfrac{-sen(x)tg(x) }{1}=-sen(x)tg(x)$

$u_{2}^{\prime}=\dfrac{W_{2}}{W}= \dfrac{sen(x) }{1 }=sen(x)$

Paso 7: Integrar cada una de las ecuaciones obtenidas en el paso 6, para de esa manera obtener las funciones $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$ .

Para hallar $u_{1}(x)$

$u_{1}(x)= \displaystyle{\int} -sen(x)tg(x) dx= -\displaystyle{\int} sen(x)\dfrac{sen(x)}{cos(x)} dx$

$u_{1}(x)=-\displaystyle{\int} \dfrac{sen^{2}(x)}{cos(x)} dx=-\displaystyle{\int} \dfrac{1-cos^{2}(x)}{cos(x)}dx$

Para resolver esta integral se separa el integrando en dos integrales inmediatas, por lo tanto

Para hallar $u_{2}(x)$

$u_{2}(x)= \displaystyle{\int} sen(x) dx= -cos(x)$

Como se mencionó anteriormente, no se incluyen en estas integraciones las constantes de integración, ya que forman parte de la solución de la ecuación homogénea asociada.

Paso 8: Sustituimos las funciones $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$

obtenidas en el paso 7, en la solución particular $y_{p}$ de acuerdo a lo indicado en el paso 2, es decir

$y_{p}=u_{1}(x)cos(x)+u_{2}(x)sen(x)$

$y_{p}=\left[sen(x)-Ln|sec(x)+tg(x)| \right] cos\left(x\right)-cos\left( x\right)sen(x)$

Simplificando obtenemos que

$y_{p}=-cos\left(x\right)Ln|sec(x)+tg(x)|$

Paso 9: Finalmente la solución general de la ecuación completa es $y=y_{c}+y_{p}$ :

$y = c_{1} cos(x)+ c_{2}sen(x)-cos\left(x\right)Ln|sec(x)+tg(x)|$

Ejemplo 1: Determinar la solución general de la E.D.O

Paso 1: Obtenemos la solución complementaria u homogénea que resulta de hacer q(x)= 0.

Paso 2: La solución particular la obtenemos reemplazando y por y

Paso 3: Resolvemos el sistema de ecuaciones en y

Paso 4: Determinar el Wronskiano

Paso 5: Determinamos y

Paso 6: Obtenemos y

Paso 7: Integrar cada una de las ecuaciones obtenidas en el paso 6, para de esa manera obtener las funciones y .

Paso 8: Sustituimos las funciones y

Paso 9: Finalmente la solución general de la ecuación completa es :

Ejemplo 2: Determinar la solución general de la E.D.O

Paso 1: Obtenemos la solución complementaria u homogénea $ y_{c} $ que resulta de hacer $ q(x)= 0 $.

Paso 2: La solución particular la obtenemos reemplazando y por y

Paso 3: Resolvemos el sistema de ecuaciones en y

Paso 4: Determinar el Wronskiano

Paso 5: Determinamos y

Paso 6: Obtenemos y

Paso 7: Integrar cada una de las ecuaciones obtenidas en el paso 6, para de esa manera obtener las funciones y .

Paso 8: Sustituimos las funciones y

Paso 9: Finalmente la solución general de la ecuación completa es :

Ejemplo 1: Determinar la solución general de la E.D.O $y^{\prime \prime}+3y^{\prime}+2y=sen\left( e^{x}\right)$

Paso 1: Obtenemos la solución complementaria u homogénea $y_{c}$ que resulta de hacer q(x)= 0.

Paso 2: La solución particular $y_{p}$ la obtenemos reemplazando $c_{1}$ y $c_{2}$ por $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$

Paso 3: Resolvemos el sistema de ecuaciones en $u_{1}^{\prime}(x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)$

Paso 4: Determinar el Wronskiano $W\left(y_{1},y_{2}\right)$

Paso 5: Determinamos $W_{1}$ y $W_{2}$

Paso 6: Obtenemos $u_{1}^{\prime}(x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)$

Paso 7: Integrar cada una de las ecuaciones obtenidas en el paso 6, para de esa manera obtener las funciones $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$ .

Paso 8: Sustituimos las funciones $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$

Paso 9: Finalmente la solución general de la ecuación completa es $y=y_{c}+y_{p}$ :

Ejemplo 2: Determinar la solución general de la E.D.O $y^{\prime \prime}+y=tg\left( x\right)$

Paso 2: La solución particular $y_{p}$ la obtenemos reemplazando $c_{1}$ y $c_{2}$ por $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$

Paso 3: Resolvemos el sistema de ecuaciones en $u_{1}^{\prime}(x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)$

Paso 4: Determinar el Wronskiano $W\left(y_{1},y_{2}\right)$

Paso 5: Determinamos $W_{1}$ y $W_{2}$

Paso 6: Obtenemos $u_{1}^{\prime}(x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)$

Paso 7: Integrar cada una de las ecuaciones obtenidas en el paso 6, para de esa manera obtener las funciones $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$ .

Paso 8: Sustituimos las funciones $u_{1}(x)$ y $u_{2}(x)$

Paso 9: Finalmente la solución general de la ecuación completa es $y=y_{c}+y_{p}$ :