Ejercicios resueltos de variación de parámetros

A continuación te mostramos en este post problema resuelto de variación de parámetros para hallar la solución general de una E.D.O lineal completa.

Si quieres ver los conceptos básicos o las fórmulas del método de variación de parámetros haz click aquí. Te invitamos a seguir leyendo y tomar lápiz y papel para que ejercites los pasos necesarios para resolver una EDO lineal de orden superior completa empleando el método de variación de parámetros.

Te invitamos a seguir leyendo y tomar lápiz y papel para que ejercites los pasos necesarios para resolver una EDO lineal de orden superior completa empleando el método de variación de parámetros.

Ejemplo 1: Determinar la solución general de la E.D.O
{y}'' + 3{y}' + 2y = \sin \left ( e^{x} \right )

SOLUCIÓN:

Al escribir la E.D.O en notación abreviada tenemos que

\left ( D^{2} + 3D + 2 \right )y = \sin \left ( e^{x} \right )

Observación: en este caso q(x) no pertenece al conjunto de funciones de la forma \left \{ e^{ax}, \sin \left ( ax \right ), cos\left ( ax \right ), e^{ax}v, xvyx^{k}\right \}, por lo tanto no se puede aplicar el método del operador inverso.

Si quieres ver los conceptos básicos o las fórmulas de los operadores inversos haz click aquí.
Para determinar la solución empleando el método de variación de parámetros se seguirán los siguientes pasos:

Paso 1: Obtenemos la solución complementaria u homogénea y_{c} que resulta de hacer q(x) = 0.


La ecuación característica asociada es

\alpha^{2} + 3\alpha + 2 = 0

factorizando se obtiene

\left(\alpha + 2 \right)\left(\alpha + 1 \right) = 0 \rightarrow \begin{cases} \alpha = -1 \ \text{ raiz real simple}\\ \alpha = -2 \ \text{ raiz real simple} \end{cases}

Así pues, como las raíces son reales y distintas, podemos escribir la solución general de la ecuación homogénea o complementaria de la siguiente forma:

y_{c} = c_{1}e^{-x} + c_{2}e^{-2x}

Si quieres ver otros ejemplos resueltos de como determinar la solución de una E.D.O homogénea haz click aquí.

Paso 2: La solución particular y_{p} la obtenemos reemplazando c_{1} y c_{2} por u_{1}(x) y u_{2}(x)

Suponemos que la solución particular y_{p} de la ecuación completa \left( D^{2}+3D+2\right)y = \sin\left( e^{x}\right) tiene la forma

y_{p} = u_{1}(x)y_{1} + u_{2}(x)y_{2}

es decir, en este caso

y_{p} = u_{1}(x)e^{-x} + u_{2}(x)e^{-2x}

siendo u_{1}(x) y u_{2}(x) funciones de x a determinar.

Paso 3: Resolvemos el sistema de ecuaciones en u_{1}^{\prime}(x) y u_{2}^{\prime}(x)

\left\lbrace \begin{matrix} u_{1}^{\prime}e^{-x}+u_{2}^{\prime}e^{-2x}=0\\ u_{1}^{\prime}(e^{-x})^{\prime}+u_{2}^{\prime}(e^{-2x})^{\prime}=\sin\left( e^{x}\right) \end{matrix}\right.$$

derivando se obtiene

\left\lbrace \begin{matrix} u_{1}^{\prime}e^{-x}+u_{2}^{\prime}e^{-2x} = 0\\ -u_{1}^{\prime}e^{-x}-2u_{2}^{\prime}e^{-2x} = \sin\left( e^{x}\right) \end{matrix}\right.

Este sistema tiene solución única debido a que el determinante del sistema es diferente de cero. Para resolver el sistema emplearemos la Regla de Cramer.

Paso 4: Determinar el Wronskiano W\left(y_{1},y_{2}\right)


W\left(e^{-x},e^{-2x}\right) = \begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\ -e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} = -2e^{-3x} + e^{-3x} = -e^{-3x}

Observe que, 

W\left(e^{-x},e^{-2x}\right)\neq 0, \, \forall x\in\Re.

Si quieres ver algunos ejemplos resueltos paso a paso de como determinar el Wronskiano de un conjunto fundamental de soluciones haz click aquí.

Paso 5: Determinamos W_{1} y W_{2}

Para determinar W_{1} se sustituye la primera columna del Wronskiano por la columna $ \begin{pmatrix} 0 \\ \sin\left( e^{x}\right) \\ \end{pmatrix} $.

W_{1} = \begin{vmatrix} 0 & e^{-2x} \\ \sin\left( e^{x}\right) & -2e^{-2x} \end{vmatrix}=-e^{-2x}\sin\left( e^{x}\right)

Para determinar W_{2} se sustituye la segunda columna del Wronskiano por la columna 

\begin{pmatrix} 0\\ \sin\left( e^{x}\right)\ \end{pmatrix}.

W_{2} = \begin{vmatrix} e^{-x} & 0 \\ -e^{-x} & \sin\left( e^{x}\right) \end{vmatrix} = e^{-x}\sin\left( e^{x}\right)

Paso 6: Obtenemos u_{1}^{\prime} y u_{2}^{\prime}

u_{1}^{\prime}= \dfrac{W_{1}}{W}= \dfrac{-e^{-2x}\sin\left( e^{x}\right) }{-e^{-3x} }=e^{x}\sin\left( e^{x}\right)

u_{2}^{\prime} = \dfrac{W_{2}}{W} = \dfrac{e^{-x}\sin\left( e^{x}\right) }{-e^{-3x} }=-e^{2x}\sin\left( e^{x}\right)

Paso 7: Integrar cada una de las ecuaciones obtenidas en el paso 6, para de esa manera obtener las funciones u_{1}(x) y u_{2}(x).

Para hallar u_{1}(x),

u_{1}(x)= \int e^{x}\sin\left( e^{x}\right) dx
Para resolver esta integral se aplica el cambio de variable z = e^{x}, dz = e^{x}dx, por lo tanto

u_{1}(x)= \displaystyle{\int} e^{x}\sin\left( e^{x}\right) dx=\displaystyle{\int} \sin\left(z\right) dz = -cos\left( z\right)

devolviendo el cambio de variable nos queda

u_{1}(x)= \displaystyle{\int} e^{x}\sin\left( e^{x}\right) dx=-cos\left( e^{x}\right)

Para hallar u_{2}(x),

u_{2}(x)= \displaystyle{\int} -e^{2x}\sin\left( e^{x}\right) dx

Para resolver esta integral se aplica el mismo cambio de variable z = e^{x}, dz = e^{x}dx, por lo tanto

u_{2}(x)= -\displaystyle{\int} e^{x}e^{x}\sin\left( e^{x}\right) dx=-\displaystyle{\int} z\sin\left(z\right) dz

esta integral se resuelve empleando el método de integración por partes, siendo u = z\rightarrow du=dz  y  dv=\sin(z)dz\rightarrow v=-cos(z), por lo tanto

u_{2}(x)= -\left[ -zcos(z) + \displaystyle{\int} cos\left(z\right) dz\right] =zcos\left( z\right) - \sin\left( z\right)

devolviendo el cambio de variable nos queda

u_{2}(x)=e^{x}cos\left( e^{x}\right) - \sin\left( e^{x}\right)

Como se mencionó anteriormente, no se incluyen en estas integraciones las constantes de integración, ya que forman parte de la solución de la ecuación homogénea asociada.

Paso 8: Sustituimos las funciones u_{1}(x) y u_{2}(x)

obtenidas en el paso 7, en la solución particular y_{p} de acuerdo a lo indicado en el paso 2, es decir

y_{p} = u_{1}(x)e^{-x} + u_{2}(x)e^{-2x}

sustituyendo

y_{p} = -cos\left( e^{x}\right)e^{-x} + \left[ e^{x}cos\left( e^{x}\right) - \sin\left( e^{x}\right)\right]e^{-2x}

Simplificando obtenemos que

y_{p} = -e^{-2x}\sin\left( e^{x}\right)

Paso 9: Finalmente la solución general de la ecuación completa es y = y_{c} + y_{p}:

y = c_{1}e^{-x} + c_{2}e^{-2x} - e^{-2x}\sin\left( e^{x}\right)

A continuación te mostramos en este post otro problema resuelto de variación de parámetros para hallar la solución general de una E.D.O lineal completa.

Si quieres ver los conceptos básicos o las fórmulas del método de variación de parámetros haz click aquí.

Ejemplo 2: Determinar la solución general de la E.D.O

y^{\prime \prime} + y = tg\left( x\right)

SOLUCIÓN:

Al escribir la E.D.O en notación abreviada tenemos que

\left( D^{2}+1\right)y = tg\left( x\right)

Observación: en este caso q(x) no pertenece al conjunto de funciones de la forma \left\lbrace e^{ax},\, \sin(ax),\, cos(ax), \, e^{ax}v,\, xv \, y \, x^{k}\right\rbrace, por lo tanto no se puede aplicar el método del operador inverso.

Si quieres ver los conceptos básicos o las fórmulas de los operadores inversos haz click aquí.
Para determinar la solución empleando el método de variación de parámetros seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1: Obtenemos la solución complementaria u homogénea y_{c} que resulta de hacer q(x)= 0.

La ecuación característica asociada es

\alpha^{2} + 1 = 0 \rightarrow \alpha^{2} = -1 \rightarrow \alpha = \pm i \rightarrow \begin{cases} a = 0 & \text{ parte real}\\ b = 1 & \text{ parte imaginaria} \end{cases}

es decir que las raíces del polinomio característico son complejas simples.
Por lo tanto, usando el principio de superposición para escribir la solución complementaria, se tiene:

y_{c}= c_{1} cos(x)+ c_{2}\sin(x)

Si quieres ver otros ejemplos resueltos de como determinar la solución de una E.D.O homogénea haz click aquí.

Paso 2: La solución particular y_{p} la obtenemos reemplazando c_{1} y c_{2} por u_{1}(x) y u_{2}(x)

Suponemos que la solución particular y_{p} de la ecuación completa \left( D^{2}+1\right)y = tg\left( x\right) tiene la forma

y_{p} = u_{1}(x)y_{1} + u_{2}(x)y_{2}

es decir, en este caso

y_{p}=u_{1}(x)cos(x)+u_{2}(x)\sin(x)

siendo u_{1}(x)  y  u_{2}(x) funciones de x a determinar.

Paso 3: Resolvemos el sistema de ecuaciones en u_{1}^{\prime}(x) y u_{2}^{\prime}(x)

\left\lbrace \begin{matrix} u_{1}^{\prime}cos(x) + u_{2}^{\prime}\sin(x)=0\\ u_{1}^{\prime}(cos(x))^{\prime} + u_{2}^{\prime}(\sin(x))^{\prime} = tg\left( x\right) \end{matrix}\right.

derivando se obtiene

\left\lbrace \begin{matrix} u_{1}^{\prime}cos(x) + u_{2}^{\prime}\sin(x) = 0\\ -u_{1}^{\prime}\sin(x) + u_{2}^{\prime}cos(x) = tg\left( x\right) \end{matrix}\right.

Este sistema tiene solución única debido a que el determinante del sistema es diferente de cero. Para resolver el sistema emplearemos la Regla de Cramer.

Paso 4: Determinar el Wronskiano W\left(y_{1},y_{2}\right)

W\left(cos(x),\sin(x)\right)= \begin{vmatrix} cos(x) & \sin(x) \\ -\sin(x) & cos(x) \end{vmatrix} = cos^{2}(x) + \sin^{2}(x) = 1

Observe que W\left(cos(x),\sin(x)\right)\neq 0, \, \forall x\in\Re.
Si quieres ver algunos ejemplos resueltos paso a paso de como determinar el Wronskiano de un conjunto fundamental de soluciones haz click aquí.

Paso 5: Determinamos W_{1} y W_{2}

Para determinar W_{1} se sustituye la primera columna del Wronskiano por la columna \begin{pmatrix} 0 \\ tg\left( x\right) \\ \end{pmatrix} $.

W_{1} = \begin{vmatrix} 0 & \sin(x) \\ tg\left( x\right) & cos(x) \end{vmatrix} = -\sin(x)tg(x)

Para determinar W_{2} se sustituye la segunda columna del Wronskiano por la columna \begin{pmatrix} 0\\ tg\left( x\right)\ \end{pmatrix}.

W_{2} = \begin{vmatrix} cos(x) & 0 \\ -\sin(x) & tg\left( x\right) \end{vmatrix} = cos(x)tg(x) = \sin(x)

Paso 6: Obtenemos u_{1}^{\prime} y u_{2}^{\prime}

u_{1}^{\prime} = \dfrac{W_{1}}{W} = \dfrac{ -\sin(x)tg(x) }{1} = -\sin(x)tg(x)

u_{2}^{\prime} = \dfrac{W_{2}}{W}= \dfrac{\sin(x) }{1 } = \sin(x)

Paso 7: Integrar cada una de las ecuaciones obtenidas en el paso 6, para de esa manera obtener las funciones u_{1}(x) y u_{2}(x).

Para hallar u_{1}(x)

u_{1}(x) = \displaystyle{\int} -\sin(x)tg(x) dx= -\displaystyle{\int} \sin(x)\dfrac{\sin(x)}{cos(x)} dx

u_{1}(x)=-\displaystyle{\int} \dfrac{\sin^{2}(x)}{cos(x)} dx=-\displaystyle{\int} \dfrac{1-cos^{2}(x)}{cos(x)}dx

Para resolver esta integral se separa el integrando en dos integrales inmediatas, por lo tanto

u_{1}(x)= \displaystyle{\int} cos(x) dx-\displaystyle{\int} sec(x) dx= sen(x)-\ln|sec(x)+tg(x)|

Para hallar u_{2}(x)

u_{2}(x)= \displaystyle{\int} \sin(x) dx= -cos(x)

Como se mencionó anteriormente, no se incluyen en estas integraciones las constantes de integración, ya que forman parte de la solución de la ecuación homogénea asociada.

Paso 8: Sustituimos las funciones u_{1}(x) y u_{2}(x)

obtenidas en el paso 7, en la solución particular y_{p} de acuerdo a lo indicado en el paso 2, es decir

y_{p} = u_{1}(x)cos(x) + u_{2}(x)\sin(x)

y_{p} = \left[\sin(x) - \ln|sec(x)+tg(x)| \right] cos\left(x\right)-cos\left( x\right)\sin(x)

Simplificando obtenemos que

y_{p} = -cos\left(x\right)\ln|sec(x)+tg(x)|

Paso 9: Finalmente la solución general de la ecuación completa es y = y_{c} + y_{p}:

y = c_{1}cos(x) + c_{2}\sin(x) - cos\left(x\right)\ln|sec(x)+tg(x)|

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