Factorización de trinomios

La factorización es un método, que sirve de gran ayuda al momento de querer expresar un polinomio, en un producto de polinomios de menor grado, para de esta manera hacer más fácil su solución. En el siguiente post estudiaremos la factorización de trinomios que tienen la forma:  \small x^{2}+bx+c   y la forma: \small ax^{2}+bx+c; sus características y sus diferentes maneras de aplicación.

Trinomios de la forma   \large {\color{Blue} x^{2}+bx+c}

Son trinomios, que no son trinomios cuadrados perfectos; y constan de un término elevado al cuadrado y donde el coeficiente que lo acompaña es el numero uno(1); un término de primer grado y un término independiente. todo ésto hace que sean trinomios con una sola variable y que tienen coeficientes contantes.

Características de un trinomio de la forma  {\color{Blue} x^{2}+bx+c}

Son trinomios que tienen la siguiente forma:

  1. En el primer término el coeficiente de la variable va a ser el número uno (1) y es un término que estará elevado al cuadrado.
  2. El segundo término será un número cualquiera multiplicado por una variable con grado uno (1)
  3. El tercer término será un término constante; es decir un término independiente.

Reglas para la factorización de un trinomios de la forma   \large {\color{Blue} x^{2}+bx+c}

Para la factorización de un trinomio de ésta forma se deben seguir las siguientes reglas:

  1. El trinomio se debe descomponer en un producto de dos binomios; donde el primer término de cada binomio va a ser la raíz cuadrada del primer término del trinomio dado.
  2. Debemos buscar dos números, que al ser sumados o restados nos den como resultado el coeficiente del segundo término del trinomio dado y que al multiplicar esos números no de el valor del tercer término del trinomio dado.
  3. Si el tercer término del trinomio es positivo significa que se deben buscar dos números, cuyo resultado de su suma sea el segundo término del trinomio y la multiplicación de ellos nos de como resultados el tercer término del trinomio dado.
  4. Si el tercer término del trinomio es negativo significa que se buscan dos números, cuyo resultado de su diferencia sea el segundo término del trinomio y la multiplicación de ellos nos de como resultados el tercer término del trinomio dado.

Formula de la factorización de un trinomio de la forma\large {\color{Blue} x^{2}+bx+c}

\large x^{2}+(a+b)x+ac= (x+a)(x+b)

Ejercicios de la factorización de un trinomio de la forma  {\color{Blue} x^{2}+bx+c} , 7 ejemplos resueltos

1.-    x^{2}+4x+3=

Solución:

Encontramos la raíz del primer termino:  x^{2}=x

Buscamos los dos números que sumados nos den el valor del segundo término del trinomio (4) y multiplicados nos den el valor del tercer término del trinomio (3) entonces:  (+3+1=4)  y \left [(+3)(+1)=3 \right ]

Armamos la factorización:

{\color{Blue} x^{2}+4x+3=(x+3)(x+1)}

2.-      x^{2}+11+30=

Solución:

Encontramos la raíz del primer termino:  x^{2}=x

Buscamos los dos números que sumados nos den el valor del segundo término del trinomio (11) y multiplicados nos den el valor del tercer término del trinomio (30) entonces:  (+5+6=11) y \left [(+5)(+6)=30 \right ]

Armamos la factorización:

{\color{Blue} x^{2}+11+30=(x+5)(x+6)}

3.-      x^{2}-11x+30=

Solución:

Encontramos la raíz del primer termino:  x^{2}=x

Buscamos los dos números que sumados nos den el valor del segundo término del trinomio (-11) y multiplicados nos den el valor del tercer término del trinomio (+30) entonces:  (-5-6=-11) y \left [(-5)(-30)=30 \right ]

Armamos la factorización:

{\color{Blue} x^{2}-11x+30=(x-5)(x-6)}

4.-    x^{2}+x-30=

Solución:

Encontramos la raíz del primer termino:  x^{2}=x

Como el último término es negativo buscamos los dos números que restados nos den el valor del segundo término del trinomio (1) y multiplicados nos den el valor del tercer término del trinomio (-30) entonces:  (+6-5=1) y \left [(+6)(-5)=-30 \right ]

Armamos la factorización:

{\color{Blue} x^{2}+x-30=(x+6)(x-5)}

5.-    x^{2}-9x-10=

Solución:

Encontramos la raíz del primer termino:  x^{2}=x

Como el último término es negativo buscamos los dos números que restados nos den el valor del segundo término del trinomio (-9) y multiplicados nos den el valor del tercer término del trinomio (-10) entonces:  (+1-10=-9) y  \left [(+1)(-10)= -10 \right ]

Armamos la factorización:

{\color{Blue} x^{2}-9x-10= (x+1)(x-10)}

6.-    x^{6}+4x^{3}-12=

Es lo mismo que  (x^{3})^{2}+4x^{3}-12=

Solución:

Encontramos la raíz del primer termino: x^{6}=x^{3}

Como el último término es negativo buscamos los dos números que restados nos den el valor del segundo término del trinomio (+4) y multiplicados nos den el valor del tercer término del trinomio (-12) entonces:  (-2+6=4) y \left [(-2)(+6)= -12 \right ]

Armamos la factorización:

{\color{Blue} x^{6}+4x^{3}-12=(x^{3}-2)(x^{3}+6)}

7.-    m^{2}-20m-300=

Solución:

Encontramos la raíz del primer termino: m^{2}=m

Como el último término es negativo buscamos los dos números que restados nos den el valor del segundo término del trinomio (-20) y multiplicados nos den el valor del tercer término del trinomio (-30) entonces:  (-30+10=-20) y \left [(-30)(+10)= -300 \right ]

Armamos la factorización:

{\color{Blue} m^{2}-20m-300=(m-30)(m+10)}

Trinomios de la forma  \large {\color{Blue} ax^{2}+bx+c}

Son trinomios, que no son trinomios cuadrados perfectos; y constan de un primer término con un coeficiente diferente de uno (1) que estará elevado al cuadrado; un término de primer grado con una variable con exponente a la mitad del primer término y un término independiente. todo ésto hace que sean trinomios con una sola variable.

Características de un trinomio de la forma {\color{Blue} ax^{2}+bx+c}

Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características:

  1. El coeficiente que acompaña el primer término es diferente de 1
  2. El segundo término tiene la misma variable del primer término pero con el exponente a la mitad de la del primer término.
  3. El tercer término es un término independiente.

Métodos y reglas para la factorización de trinomios de la forma  \large {\color{Blue} ax^{2}+bx+c}

Para la factorización de un trinomio de ésta forma  existen distintos métodos y reglas que seguir:

Método 1 para la factorización de un trinomio de la forma  \large {\color{Blue} ax^{2}+bx+c}

Se deben seguir las siguientes reglas:

  1. Ordenamos el trinomio dado en orden decreciente.
  2. Multiplicamos todo el trinomio dado por el coeficiente del primer término y  al mismo tiempo se divide todo esto entre el mismo coeficiente. En el segundo término solo se indica la multiplicación.
  3. Simplificamos el producto para que de esta manera nos quede expresado como un trinomio de la forma x²+bx+c.
  4. Factorizamos ese trinomio.
  5. Sacamos el factor común de cada uno de los binomios formados y simplificamos de modo que eliminemos el coeficiente del termino cuadrático que esta dividiendo.
  6. Formamos la factorización encontrada.

Método 2 para la factorización de un trinomio de la forma  \large {\color{Blue} ax^{2}+bx+c}

Se deben seguir las siguientes reglas:

  1. Encontramos dos números enteros (r y s) que sumados den igual a (b) y que multiplicados sean igual a (ac).
  2. Reescribimos el trinomio de la siguiente manera:  ax^{2}+rx+sx+c
  3. Agrupamos.
  4. Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común y factorizar el polinomio.

Ejercicios de la factorización de un trinomio de la forma  \large {\color{Blue} ax^{2}+bx+c},  7 ejemplos resueltos

1.-    6x^{2} -7x -3=

Solución:

Por método 1

Multiplicamos todo el trinomio dado por el coeficiente del primer término y  al mismo tiempo se divide todo esto entre el mismo coeficiente. En el segundo término solo se indica la multiplicación no se resuelve

\frac{6(6x^{2}-7x-3)}{6}=\frac{36x^{2}-7(6x)-18}{6}

Simplificamos el producto para que de esta manera nos quede expresado como un trinomio de la forma x²+bx+c.

=\frac{(6x)^{2}-7(6x)-18}{6}

Factorizamos

=\frac{(6x-9)(6x+2)}{6}

Sacamos el factor común de cada uno de los binomios

=\frac{3(2x-3)2(3x+1)}{6}=\frac{6(2x-3)(3x+1)}{6}

Simplificamos y la factorización nos queda:

{\color{Blue} 6x^{2} -7x -3=(2x-3)(3x+1)}

2.-    6x^{2}+11x+4=

Solución:

Por Método 2

Encontramos dos números enteros (r y s) que sumados den igual a (b) y que multiplicados sean igual a (ac).

r=3  y  s=8     ya que r + s =b  (+3+8=11)  y    r * s =ac    \left [ (+3)(+8)=24 \right ]

Reescribimos el trinomio

=6x^{2}+3x+8x+4

Agrupamos

=(6x^{2}+3x)+(8x+4)

Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común de cada grupo y factorizar el polinomio

=3x(2x+1)+4(2x+1)

Usamos la Propiedad Distributiva para tomar (2x+1) como factor común de los pares

=(2x+1)+(3x+4)

La factorización nos queda:

{\color{Blue} 6x^{2}+11x+4=(2x+1)(3x+4)}

3.-    6x^{2}-26x-20=

Solución:

Por método 2 sacando el factor común primero

=6x^{2}-26x-20= 2(3x^{2}-13x-10)

Encontramos dos números enteros (r y s) que sumados den igual a (b) y que multiplicados sean igual a (ac)

r=-15    s=2      ya que r+s=-15+2=-13      y  r*s= (-15)(+2)=-30

Reescribimos el trinomio de la siguiente manera  ax^{2}+rx+sx+c

=2(3x^{2}-15x+2x-10)

Agrupamos

=2\left [ (3x^{2}-15x)+(2x-10) \right ]

Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común de cada grupo y factorizar el polinomio

=2\left [ 3x(x-5) +2(x-5)\right ]

Usamos la Propiedad Distributiva para tomar (x-5) como factor común de los pares

=2(x-5)(3x+2)

La factorización nos queda:

{\color{Blue} 6x^{2}-26x-20=2(x-5)(3x+2)}

4.-    3x^{2}-5x-2=

Solución:

Por método 1

Multiplicamos todo el trinomio dado por el coeficiente del primer término y  al mismo tiempo se divide todo esto entre el mismo coeficiente. En el segundo término solo se indica la multiplicación no se resuelve

\frac{3(3x^{2}-5x-2)}{3}=\frac{9x^{2}-5(3x)-6}{3}

Simplificamos el producto para que de esta manera nos quede expresado como un trinomio de la forma x²+bx+c.

=\frac{(3x)^{2}-5(3x)-6}{3}

Factorizamos

=\frac{(3x-6)(3x+1)}{3}

Sacamos el factor común de cada uno de los binomios

=\frac{3(x-2)1(3x+1)}{3}=\frac{3(x-2)(3x+1)}{3}

Simplificamos y la factorización nos queda:

{\color{Blue} 3x^{2}-5x-2=(x-2)(3x+1)}

5.-    5x^{3}+15x^{2}-20x=

Solución:

Por método 2 sacando el factor común primero debido a que no tiene término independiente

Es lo mismo solo tenemos que expresarlo de la manera en que le quede un término independiente y de allí el procedimiento será el mismo

5x^{3}+15x^{2}-20x=5x(x^{2}+3x-4)

Encontramos dos números enteros (r y s) que sumados den igual a (b) y que multiplicados sean igual a (ac)

r=-1   s=4     ya que    r+s=-1+4=3     y    r*s= (-1)(+4)=-4

Reescribimos el trinomio de la siguiente manera  ax^{2}+rx+sx+c

=5x(x^{2}-x+4x-4)

Agrupamos

=5x\left [ (x^{2}-x)+(4x-4) \right ]

Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común de cada grupo y factorizar el polinomio

=5x\left [ x(x-1) +4(x-1)\right ]

Usamos la Propiedad Distributiva para tomar (x-1) como factor común de los pares

=5x(x-1)(x+4)

La factorización nos queda:

{\color{Blue} 5x^{3}+15x^{2}-20x=5x(x-1)(x+4)}

6.-    4x^{2}+15x+9=

Solución:

Por método 1

Multiplicamos todo el trinomio dado por el coeficiente del primer término y  al mismo tiempo se divide todo esto entre el mismo coeficiente. En el segundo término solo se indica la multiplicación no se resuelve

\frac{4(4x^{2}+15x+9)}{4}=\frac{16x^{2}+15(4x)+36}{4}

Simplificamos el producto para que de esta manera nos quede expresado como un trinomio de la forma x²+bx+c.

=\frac{(4x)^{2}+15(4x)+36}{4}

Factorizamos

=\frac{(4x+12)(4x+3)}{4}

Sacamos el factor común de cada uno de los binomios

=\frac{4(x+3)1(4x+3)}{4}=\frac{4(x+3)(4x+3)}{4}

Simplificamos y la factorización nos queda:

{\color{Blue} 4x^{2}+15x+9=(x+3)(4x+3)}

7.-    -4x^{2}+11x+3=

Solución:

Por método 2 sacando el factor común primero debido a que tenemos el primer término negativo, debemos transformarlo en positivo

Es lo mismo solo tenemos que expresarlo de la manera en que le quede el primer término positivo y de allí el procedimiento será el mismo

-4x^{2}+11x+3=-1(4x^{2}-11x-3)

Encontramos dos números enteros (r y s) que sumados den igual a (b) y que multiplicados sean igual a (ac)

r=-12   s=1    ya que    r+s=-12+1=-11    y  r*s= (-12)(+1)=-12

Reescribimos el trinomio de la siguiente manera  ax^{2}+rx+sx+c

=-1(4x^{2}-12x+1x-3)

Agrupamos

=-1\left [ (4x^{2}-12x)+(x-3) \right ]

Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común de cada grupo y factorizar el polinomio

=-1\left [ 4x(x-3)+1(x-3)\right ]

Usamos la Propiedad Distributiva para tomar (x-3) como factor común de los pares

=-1(x-3)(4x+1)

La factorización nos queda:

{\color{Blue} -4x^{2}+11x+3=-1(x-3)(4x+1)}