Raíces de un poilinomio

Las raíces de un polinomio P(X) también conocidas como ceros de un polinomio, son los valores numéricos que se asignan a la variable X, los cuales al ser sustituidos dichos valores en el polinomio da como resultado cero.

Ejemplo: si P(x)= X-5 al sustituir el valor de X por 5 y resolver el polinomio de la siguiente manera:

P(5)= 5-5= 0 este tiene como resultado cero, quiere decir que la raíz o cero del polinomio P(x)= X-5 es 5.

Como calcular las raíces de un polinomio.

Para obtener las raíces de un polinomio, se determina en primer lugar los divisores del termino independiente, los cuales pueden ser mas de un número, tanto positivos como negativos, seguidamente se procede a sustituir cada valor en el polinomio, hasta obtener como resultado cero, en este momento estaremos en presencia de una raíz de un polinomio o cero de un polinomio.

Es importante resaltar que cuando no se tiene el termino independiente o los divisores de este son muchos, se puede factorizar el polinomio, de esta forma determinar con exactitud los valores o raíces de dicho polinomio. Si se tiene un polinomio de segundo grado se pueden resolver a través de la formula de la resolvente cuya ecuación es:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Cuando el polinomio es de grado mayor a dos se recomienda utilizar la Regla de Ruffini para la búsqueda de los valores de las raíces.

Resolución de ejercicios.

Ejercicio 1:

Halla la raíz de un polinomio P(X)= X – 2

Los divisores del termino independiente son: 1, -1, 2 y -2. Sustituimos el primer valor en el polinomio:

P(1)= 1-2= -1 como el resultado es diferente a cero, 1 no es raíz del polinomio y seguimos sustituyendo

P(-1)= -1-2= -3 No es raíz del polinomio

P(-2)=-2-2= -4 No es raíz del polinomio

P(2)= 2-2= 0

Cuando x=2 el resultada da cero, se dice que 2 es la raíz del polinomio P(X)= X – 2

Ejercicio 2:

Obtener la raíz de un polinomio $P(X)= X^{2}-4X+4$

Los divisores de 4 son: 1,-1,2,-2, 4 y -4, se procede a sustituir cada valor, obteniendo los siguientes resultados;

P(1)=1

P (-1)=9

P (4)= 4

P (-4)=36

P (-2)=16

Como se puede evidenciar, cuando X se le asigna los valores de 1,-1,2,-2, 4 y -4, los resultados son diferente a cero, por lo tanto no son raíces del polinomio. Observemos cuando X= 2

P (2)= $(2)^{2}-4(2)+4=0$

En esta ocasión el resultado es igual a cero, la raíz del polinomio $P(X)= X^{2}-4X+4$ es igual a 2.

Ejercicio 3:

Hallar a raíz del polinomio $P(X)=X^{3}-X^{2}$

Como no tenemos termino independiente procedemos a factorizar por factor común, quedando el polinomio;

$P(X)=X^{2}(X-1)$

Evaluaremos con los valores de X= 0 y X= 1

$P(0)= 0^{2}(0-1)=0$

$P(1)= 1^{2}(1-1)= 0$

Como podemos observar, cuando X adquiere valores de o y 1, dan como resultado cero, quiere decir que ambos son raíces del polinomio $P(X)=X^{3}-X^{2}$

Ejercicio 4:

Obtener las raíces del polinomio $P(X)= X^{2}-3X+2$ .

Si aplicamos la resolvente $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Donde a=1 b=-3 c=2 al sustituir y resolver se obtiene que;

$x_{1}=2$

$x_{2}= 1$

Con estos valores se sustituye en el polinomio para evaluar;

$P(1)=(1)^{2}-3(1)+2= 0$

$P(2)=(2)^{2}-3(2)+2= 0$

Entonce 1 y 2 son las raíces del polinomio $P(X)= X^{2}-3X+2$

Ejercicio 5:

Hallar las raíces del polinomio $P(x)= x^{3}-5x^{2}+8x-4$

En este caso se aplica la Regla de Ruffini, recordemos que se extraen los coeficientes del polinomio respetando el orden decreciente y el signo, seguidamente se considera los divisores del termino independiente para iniciar el procedimiento de resolución, quedando de la siguiente manera:

Las raíces del polinomio según Ruffini serían 1 y 2, evaluamos para verificar;

$P(X)= (1)^{3}-5(1)^{2}+8(1)-4= 0$

$P(X)= (2)^{3}-5(2)^{2}+8(2)-4= 0$

Calculadora científica para el cálculo de las raíces de un polinomio.

Para los amantes de la tecnología, actualmente se cuentan con calculadoras científicas que facilita los cálculos de las raíces de un polinomio, reduciendo el tiempo de trabajo al determinar los valor. Existen varios modelos como el fx-991ES PLUS donde se escribe el polinomio, la calculadora reflejara si se desea que la función polinómica de como resultado cero, se marca la tecla de igual afirmando que ese es el valor deseado y esta indica los valores de X o la raíces del polinomio. Hay otros modelos mas avanzados donde se escribe el polinomio, ella la gráfica, y visualmente podemos ver donde la gráfica corta al eje de las X, siendo dichos puntos de cortes los valores de las raíces.