El mundo de los números está compuesto por diferentes grupos de números, uno de estos grupos es el que está conformado tanto por números positivos como negativos y se conoce como el grupo de los números enteros. A continuación en el post estudiaremos las distintas definiciones acerca de este tipo de números, sus característica, su representación y todo lo relacionado con estos.

Qué son los números enteros

Son un conjunto de números, que contienen dentro de si, al conjunto de los números naturales, al conjunto de sus opuestos, y que ademas incluye al número cero (0). Todo ésto señala entonces, que los números enteros son aquellos números que no poseen decimales. Los números enteros son números que pueden ser sumados, restados, multiplicados y hasta divididos, tomando en cuenta ciertas normas y la ley de los signos.

Ejemplo:

Números Enteros

El conjunto de los números enteros y el símbolo de los números enteros

El hombre siempre tuvo la necesidad de contar. Para hacerlo, creó lo que se conoce como números naturales. Sin embargo, estos números no le fueron suficientes para representar algunas cantidades, ni distinguir ciertas situaciones de otras. Por ejemplo, las temperaturas sobre cero y bajo cero, las pérdidas o los años transcurridos antes y después de Cristo.

En  matemática la letra (Z) se usa como símbolo para representar los números enteros: por tal razón para hablar de números enteros, solo usamos la letra del alfabeto Z (mayúscula); en algunos casos se usa Zy en otros casos se usa Z-.

Cuales son los números enteros:

Para conocer cuales son los números enteros, bastará con saber que el conjunto de los números enteros está formado por:

  1. Enteros positivos (los números naturales).
  2. Enteros negativos.
  3. El número cero (0).

Por lo tanto, el conjunto de los números enteros es la unión de tres conjuntos:

{\color{Blue} Z = \left \{ ....,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,....\right \}}

Números enteros positivos (los naturales)

Son los números que tienen delante el signo + y los representamos por Z+.

Ejemplo de números enteros positivos

Z+ = {+1, +2, +3, +4 . . .}.

Un entero positivo se puede representar con el signo (+) o sin ningún signo.

Por ejemplo:

{+1, +2, +3, +4 . . .} = {1, 2, 3, 4 . . .}

Números enteros negativos

Son los números que tienen delante el signo ( – ) y los representamos por Z– 

Ejemplo números enteros negativos

Z- = {-1, -2, -3, -4 . . .}

Lectura y escritura de un número entero negativo:

a)    – 1: uno negativo o menos uno

b)    – 10: diez negativo o menos 10

El número cero:

El cero (0) es un número entero que no es positivo ni negativo; es decir es neutro.

¿Por qué los números enteros se representan con la letra Z?

Los números enteros en matemáticas, son representados con la letra Z, debido a que ésta es la primera letra del vocablo alemán (ZAHLEN),  la que significa: (NÚMERO); por esta razón podemos responder ¿qué significa  Z en matemáticas? significa números enteros.

Características de los números enteros

Entre las características, que presenta el conjunto de los números enteros podemos mencionar la siguientes:

  1. Está compuesto por tres conjuntos, que son el conjunto de los números positivos (naturales), el conjunto de los números negativos, y el número cero(0).
  2. Es un conjunto en el cual el valor de los números es exacto; es decir no poseen decimales.
  3. El símbolo que se usa para representar los números enteros es la última letra del alfabeto Z.
  4. En este conjunto el número cero es un número que no es ni positivo, ni negativo.
  5. Con ellos podemos realizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones.
  6. Son números infinitos.

Representación de los números enteros en la recta numérica

Para saber como se representan gráficamente los números enteros, los asociamos a puntos en una línea recta infinita, en cada una de las dos direcciones ubicando el cero en la parte central de la línea, y localizaremos puntos a la izquierda y derecha del cero; es decir hasta el infinito de ambos lados.

En la recta numérica los números positivos están ubicados del lado derecho; mientras que los números negativos están ubicados del lado izquierdo.

Ejemplo de la representación de los números enteros como puntos en una recta.

Representación de números enteros(Z)

Ejercicios de cómo se representan los números enteros en la recta numérica

Representar los siguientes números en la recta numérica:

a.)      5

b.)    -4

Solución:

Dibujamos la recta numérica

Representación de números enteros en la recta numérica

Ubicamos los puntos o números enteros, si es positivo va del lado derecho y si es negativo va del lado izquierdo:

Representación de números enteros en la recta numérica parte 2

Como pueden observar se ubicó el número 5 del lado derecho porque es positivo y el número 4 del lado izquierdo porque es negativo.

Orden entre los números enteros

Utilizaremos los símbolos   “<“  y    “>”  para indicar:  “es menor que”  y  “es mayor que”.

El signo “=”  será utilizado para sustituir las palabras “es igual a”.

De acuerdo al orden de los números enteros sobre la recta numérica, podemos escribir:

a<b    a es menor que b,                     a = b   a es igual a b,            a > b     a es mayor que b.

Observaciones generales:

  • Todo número positivo es mayor que cero.
  • Todo número negativo es menor que cero. Así,   -5 < 0     y     – – 4 < 0
  • Todo número positivo es mayor que todo número negativo. Así,    5>-2 ,      8>-10
  • De dos números negativos, es mayor el que está más cerca del cero. Así,  -2>-8 ,    -1>-10
  • De dos números positivos, es mayor el que está más lejos del cero. Así,    10>2

Números opuestos en los números enteros

Dos números enteros que se encuentran a la misma distancia del cero, pero en sentido contrario uno del otro, se denominan números enteros opuestos

Ejemplo de números opuestos:

a)    1    y    -1

b)    2    y   -2

c)    3    y    -3

Valor absoluto de un número entero

Es la distancia a la que se encuentra el número del cero. El valor absoluto se expresa encerrando el número entre dos barras.

La distancia entre el origen (0) y el punto (3)es igual a la distancia entre el origen (0) y el punto (–3); ésta distancia se representa por medio del número 3 en ambos casos.

Así, escribimos:

\left | 3 \right |=3             y         \left | -3 \right |=3            es decir que      {\color{Blue} \left | 3 \right |=\left | -3 \right |=3}

Con esto concluimos que:

  • El valor absoluto de cualquier número entero es positivo
  • El valor absoluto de cero es cero.

¿ Para qué sirven los números enteros ?

La utilidad de los números enteros, ha sido desde la antigüedad; ya que poco después de que se produjeron los números naturales; se generó la necesidad de restar; de saber que pasaría si le quitáramos una cantidad a otra, y hoy en día son de suma importancia, ya nos sirven para representan una gran diversidad de cosas o datos, entre algunos de sus usos podemos mencionar los siguientes:

  1. Con ellos podemos efectuar sumar, realizar restas y hasta multiplicaciones y divisiones.
  2. Para establecer la alturas.
  3. Con los enteros negativos podemos marcar temperaturas que están bajo cero, así como también profundidades que están bajo el nivel del mar.
  4.  Calcular valores absolutos.
  5. Con ellos podemos poner en practica la ley de los signos; debido a que en ellos nos encontramos con números negativos y positivos. Con estos números podemos hacer diversas operaciones que cada una tiene métodos sus reglas diferentes.
  6. Con ellos podemos representar cantidades exactas; es decir medidas de ciertas cosas que no pueden expresarse con decimales ejemplo: cantidad de personas.

En fin los números enteros son utilizados para infinidades de cosas que se haría imposible terminar de mencionar la gran utilidad que estos tienen, ya que en el diario vivir estamos haciendo uso de estos.

20 Ejemplos de números enteros

  1. Primero (1°).
  2. Segundo (2°).
  3. Centésimo (100°).
  4. Décimo tercero (13°).
  5. Sexagésimo (60°).
  6. uno (1).
  7. Dos (2).
  8. Veinte (20).
  9. Los números que son simples y que no poseen decimales; que van desde el infinito positivo hasta el infinito negativo (-∞, …..,-3,-2,-1,0,1,2,3,….,+∞).
  10. Cuatrocientos treinta (430).
  11. Dos mil setecientos once (2711).
  12. Menos treinta y dos (-32).
  13. Cero (0).
  14. Mil (1000).
  15. Un millón trescientos veinte mil cuarenta (1320040).
  16. Menos uno (-1).
  17. Menos trescientos cuarenta y ocho (-348).
  18. Un billón (1000000000000).
  19. Ochenta y ocho (88).
  20. Menos un millón (-1000000).

Estos números mencionados en los ejemplos no son todos los números enteros existentes, puesto que existen infinita cantidad de ellos.

Operaciones con números enteros

Entre las operaciones que podemos realizar con los números enteros podemos encontrar las siguientes:

  1. Adición de números enteros.
  2. Sustracción o resta de números enteros.
  3. Multiplicación de números enteros.
  4. División de números enteros.
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