Con los números enteros, podemos realizar diversas operaciones como los son: la suma, la resta, la multiplicación y la división. En el siguiente post estudiaremos la multiplicación de números enteros, sus propiedades y la forma de resolver ejercicios donde se aplique ésta operación matemática.

Qué es la multiplicación de números enteros

La multiplicación de uno o varios números enteros, ya sean positivos (+) o negativos (-), consiste en  multiplicar los valores absolutos de esos números, y el resultado que obtendremos será otro número entero, el cual estará acompañado del signo que se obtiene de la aplicación de la ley de los signos para la multiplicación.

Los números positivos son aquellos que tienen el signo de mas (+) o que no poseen signo; mientras que los negativos son los que tienen el signo de menos (-).

Cómo multiplicar los números enteros

Para saber cómo se multiplican los números enteros, debemos tener conocimiento de la ley de los signos en la multiplicación la cual nos señala que:

  1. Si los números poseen el mismo signo ya sea positivo (+) o negativo (-), el resultado es positivo (+).
  2. Si los números poseen signos diferentes; es decir positivo (+) y negativo (-), el resultado es negativo (-).

Ejemplos de la multiplicación de números enteros, 10 ejercicios resueltos

1.-       (+3)\ast(+8)=+24

Como se puede observar, por los números dados tener los mismos signos, se multiplicaron sus valores absolutos y al resultado se le colocó el signo positivo (+) por la ley de los signos para la multiplicación.

2.-       (+21)\ast(-10)=-210

Como se puede observar, por los números dados tener signos diferentes, se multiplicaron sus valores absolutos y al resultado se le colocó el signo negativo (-) por ley de los signos para la multiplicación.

3.-      (-5)\ast (+7)=-35

Como se puede observar, por los números dados tener signos diferentes, se multiplicaron sus valores absolutos y al resultado se le colocó el signo negativo (-) por ley de los signos para la multiplicación.

4.-       (-15)\ast(-2)=+30

Como se puede observar, por los números dados tener los mismos signos, se multiplicaron sus valores absolutos y al resultado se le colocó el signo positivo (+) por la ley de los signos para la multiplicación.

5.-       (+20)\ast(+4)=+80

6.-       (+32)\ast(-9)=-288

7.-       (-25)\ast(-5)=+125

8.-       (-12)\ast(+12)=-144

9.-       (-7)\ast(20)=-140

10.-      (11)\ast(30)=+330

Propiedades de la multiplicación de números enteros

Las propiedades de la multiplicación de números enteros son las siguientes:

  1. Propiedad conmutativa.
  2. La propiedad asociativa.
  3. Propiedad del elemento neutro.
  4. La propiedad distributiva

En la multiplicación de números enteros, podemos encontramos con la suma o resta de productos que tienen un elemento en común y se puede aplicar un método que es inverso a la propiedad distributiva que se llama:

Sacar factor común.

Propiedad conmutativa de la multiplicación de números enteros

Ésta es una de las propiedades de la multiplicación de números enteros, y nos indica que el resultado de cualquier multiplicación de números enteros no dependerá del orden que tengan los números que se están multiplicando; es decir el orden de los factores a multiplicar no va alterar el producto o resultado.

Si tenemos dos números enteros a y b. La propiedad conmutativa nos indica que las multiplicaciones: a\ast b   y  b\ast a  son iguales; es decir     {\color{Blue} a\ast b=b\ast a}

Ejemplos de la multiplicación de números enteros aplicando la propiedad conmutativa, ejercicios resueltos

1.-       (+3)\ast(-2)=

Solución:

Aplicamos la propiedad conmutativa

(+3)\ast (-2)=(-2)\ast (+3)

-6                    -6

Como se puede observar el orden de los números enteros a multiplicar, no altera el resultado de la multiplicación.

2.-       (+9)\ast (-7)=

Solución:

Aplicamos la propiedad conmutativa

(+9)\ast (-7)=(-7)\ast(+9)

-63                   -63

Como se puede observar el orden de los números enteros a multiplicar, no altera el resultado de la multiplicación.

3.-       (-8)\ast (-5)=

Solución:

Aplicamos la propiedad conmutativa

(-8)\ast(-5)=(-5)\ast(-8)

+40                 +40

Como se puede observar el orden de los números enteros a multiplicar, no altera el resultado de la multiplicación.

4.-       (-2)\ast(+25)=

Solución:

Aplicamos la propiedad conmutativa

(-2)\ast (+25)=(+25)\ast (-2)

-50                   -50

Como se puede observar el orden de los números enteros a multiplicar, no altera el resultado de la multiplicación.

5.-       (+6)\ast (+8)=

Solución:

Aplicamos la propiedad conmutativa

(+6)\ast(+8)=(+8)\ast(+6)

+48                 +48

Como se puede observar el orden de los números enteros a multiplicar, no altera el resultado de la multiplicación.

Propiedad asociativa de la multiplicación de números enteros

Ésta es una de las propiedades de la multiplicación de números enteros, y nos señala que la multiplicación de tres o varios números que son enteros, no va a depender de la manera en que esos números sean asociados; es decir, cuando haya solamente multiplicaciones podemos multiplicar dos números primero y el resultado que obtengamos, lo multiplicamos por resto de los números. No importa de que manera sean asociados o agrupados los números, el resultado siempre será el mismo.

Si tenemos tres números enteros a, b y c. La propiedad asociativa  nos indica que las multiplicaciones: \left [(a\ast b)\ast c \right ]\left [a\ast (b\ast c) \right ]  son iguales; es decir    {\color{Blue} \left [(a\ast b)\ast c \right ]=\left [a\ast (b\ast c) \right ]}

Ejemplos de la multiplicación de números enteros aplicando la propiedad asociativa, ejercicios resueltos

1.-        (+3)\ast(-2)\ast(-5)=

Solución:

Aplicamos la propiedad asociativa

\left [(+3)\ast (-2 ) \right ]\ast (-5)=   (+3)\ast \left [(-2)\ast (-5)\right ]

(-6)\ast (-5)                       (+3)\ast (+10)

+30                                         +30

Como se puede observar los números se agruparon de distinta manera, se multiplicaron y el resultado que se obtuvo es el mismo.

2.-      (+4)\ast (-1)\ast (+7)=

Solución:

Aplicamos la propiedad asociativa

\left [(+4)\ast (-1 ) \right ]\ast (+7)= (+4)\ast \left [(-1)\ast (+7)\right ]

(-4)\ast (+7)                       (+4)\ast (-7)

-28                                       -28

Como se puede observar los números se agruparon de distinta manera, se multiplicaron y el resultado que se obtuvo es el mismo.

3.-      (-6)\ast (+5)\ast (+9)=

Solución:

Aplicamos la propiedad asociativa

\left [(-6)\ast (+5 ) \right ]\ast (+9)=   (-6)\ast \left [(+5)\ast (+9)\right ]

(-30)\ast (+9)                       (-6)\ast (+45)

-270                                         -270

4.-    (-4)\ast (-3)\ast (-6)=

Solución:

Aplicamos la propiedad asociativa

\left [(-4)\ast (-3 ) \right ]\ast (-6)=   (-4)\ast \left [(-3)\ast (-6)\right ]

(+12)\ast (-6)                       (-4)\ast (+18)

-72                                           -72

5.-    (-6)\ast (-7)\ast (+20)=

Solución:

Aplicamos la propiedad asociativa

\left [(-6)\ast (-7 ) \right ]\ast (+20)= (-6)\ast \left [(-7)\ast (+20)\right]

(+42)\ast (+20)                     (-6)\ast (-140)

+840                                         +840

Propiedad del elemento neutro en la multiplicación de números enteros

Ésta es una de las propiedades de la multiplicación de números enteros; para ésto debemos saber que el elemento neutro de la multiplicación es el número uno (1); y si multiplicamos el número uno (1), por cualquier número entero, el resultado de la multiplicación va a ser el mismo número entero; es decir que no se afecta nada, por eso se llama elemento neutro.

Si tenemos un número entero a. La propiedad del elemento neutro nos dice que si multiplicamos: a\ast 1 el resultado va a ser  a;  es decir {\color{Blue} a\ast 1=a}

Ejemplos de la multiplicación de números enteros aplicando la propiedad del elemento neutro, ejercicios resueltos

1.-    (+15)\ast 1=

Solución:

Aplicamos la propiedad del elemento neutro de la multiplicación

(+15)\ast 1=+15

Como se puede observar el resultado obtenido es el mismo número entero.

2.-    (-28)\ast 1=

Solución:

Aplicamos la propiedad del elemento neutro de la multiplicación

(-28)\ast 1=-28

Como se puede observar el resultado obtenido es el mismo número entero.

3.-    1\ast (-123)=

Solución:

Aplicamos la propiedad del elemento neutro de la multiplicación

1\ast (-123)=-123

Como se puede observar el resultado obtenido es el mismo número entero.

4.-    1\ast (+1250)=

Solución:

Aplicamos la propiedad del elemento neutro de la multiplicación

1\ast (+1250)=+1250

Como se puede observar el resultado obtenido es el mismo número entero.

5.- (-15362)\ast 1=

Solución:

Aplicamos la propiedad del elemento neutro de la multiplicación

(-15362)\ast 1=-15362

Como se puede observar el resultado obtenido es el mismo número entero.

Propiedad distributiva de la multiplicación de números enteros

Esta es una propiedad de la multiplicación de números enteros, y ésta es la propiedad que nos permite convertir multiplicaciones en sumas o también en restas.

Si tenemos tres números enteros a,b y c. La propiedad distributiva nos dice que si multiplicamos:    a\ast (b\pm c)   el resultado va a ser  a\ast b\pm a\ast c ;  es decir {\color{Blue} a\ast (b\pm c)=a\ast b\pm a\ast c}

Ejemplos de la multiplicación de números enteros aplicando la propiedad distributiva ejercicios resueltos

1.-    (+2)\ast\left [ (+4)+(+8) \right ]=

Solución:

Se aplican la propiedad distributiva y la ley de signos para la multiplicación

(+2)\ast\left [ (+4)+(+8) \right ]=(+2)\ast (+4)+(+2)\ast (+8)=(+8)+(+16)=

Se aplica la suma de números enteros y la ley de signos para la suma (signos iguales se suman y al resultado se le coloca el signo que tienen en común) y nos queda:

(+8)+(+16)=+24

2.-  (+2)\ast\left [ (-4)-(+8) \right ]=

Solución:

Se aplica la propiedad distributiva y la ley de signos para la multiplicación

(+2)\ast\left [ (-4)-(+8) \right ]=(+2)\ast (-4)-(+2)\ast (+8)=(-8)-(+16)=

Como nos quedo una resta de números enteros aplicamos las reglas para la resta (transformamos la resta en suma; es decir le sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo y aplicamos la suma de números enteros y la ley de signos para la suma) y nos queda:

(-8)-(+16)=(-8)+(-16)=-24

3.-    (-3)\ast\left [ (+4)+(-5) \right ]=

Solución:

Se aplican la propiedad distributiva y la ley de signos para la multiplicación

(-3)\ast\left [ (+4)+(-5) \right ]=(-3)\ast (+4)+(-3)\ast (-5)=(-12)+(+15)=

Se aplica la suma de números enteros y la ley de signos para la suma (signos diferentes se restan y al resultado se le coloca el signo del número mayor) y nos queda:

(-12)+(+15)=+3

4.-    (-8)\ast\left [ (-7)+(-2) \right ]=

Solución:

Se aplican la propiedad distributiva y la ley de signos para la multiplicación

(-8)\ast\left [ (-7)+(-2) \right ]=(-8)\ast (-7)+(-8)\ast (-2)=(+56)+(+16)=

Se aplica la suma de números enteros y la ley de signos para la suma (signos iguales se suman y al resultado se le coloca el signo que tienen en común) y nos queda:

(+56)+(+16)=+72

5.-        (-5)\ast\left [ (-3)-(+2) \right ]=

Solución:

Se aplica la propiedad distributiva y la ley de signos para la multiplicación

(-5)\ast\left [ (-3)-(+2) \right ]=(-5)\ast (-3)-(-5)\ast (+2)=(+15)-(-10)=

Como nos quedo una resta de números enteros aplicamos las reglas para la resta (transformamos la resta en suma; es decir le sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo y aplicamos la suma de números enteros y la ley de signos para la suma) y nos queda:

(+15)-(-10)=(+15)+(+10)=+25

En la multiplicación de números enteros, podemos encontramos con la suma o resta de productos y se aplica:

Sacar factor común

En la multiplicación de números enteros podemos encontrarnos con la suma o resta de productos que tienen un factor en común; en este caso aplicamos la propiedad de sacar factor común; la cual es una propiedad inversa a la propiedad distributiva; es decir en ella transformaremos la suma o resta en producto.

{\color{Blue} a\ast b\pm a\ast c=a\ast (b\pm c)}

Ejemplos de la multiplicación de números enteros aplicando factor común ejercicios resueltos

1.-      (+3)\ast (-2)+(+3)\ast (+1)=

Solución:

Sacamos factor común

(+3)\ast \left [ (-2)+(+1) \right ]

Como se observa se convirtió en la propiedad distributiva.

(+3)\ast \left [ (-2)+ (+1) \right ]=(-6)+(+3)=-3

2.-    (+3)\ast (-2)-(+3)\ast (+1)=

Solución:

Sacamos factor común

(+3)\ast \left [ (-2)- (+1) \right ]

Como se observa se convirtió en la propiedad distributiva.

(+3)\ast \left [ (-2)- (+1) \right ]=(-6)-(+3)=(-6)+(-3)=-9

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